cho tam giác vuông ABC vuông tại A có AC=16cm ,BC=20cm , đ/cao AK . kẻ KE vuông góc với AB , KF vuông góc với AC . a) tính BK,CK,AK,góc B và góc C b) c/m AE.AB+AF.AC=2AK ^2 c) gọi M là trung điểm BK...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tính BK, CK, AK, góc B và góc C 1. Tính AK: Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore: \[ AB^2 = BC^2 - AC^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144 \] \[ AB = \sqrt{144} = 12 \, \text{cm} \] Sử dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông: \[ AK = \frac{AC \times AB}{BC} = \frac{16 \times 12}{20} = \frac{192}{20} = 9.6 \, \text{cm} \] 2. Tính BK và CK: Sử dụng công thức đường cao trong tam giác vuông: \[ BK = \frac{AB^2}{BC} = \frac{12^2}{20} = \frac{144}{20} = 7.2 \, \text{cm} \] \[ CK = \frac{AC^2}{BC} = \frac{16^2}{20} = \frac{256}{20} = 12.8 \, \text{cm} \] 3. Tính góc B và góc C: Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông: \[ \sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{16}{20} = 0.8 \] \[ B = \arcsin(0.8) \approx 53.13^\circ \] \[ C = 90^\circ - B \approx 36.87^\circ \] b) Chứng minh \( AE \cdot AB + AF \cdot AC = 2AK^2 \) 1. Tính AE và AF: Vì KE vuông góc với AB, nên AE là đoạn thẳng từ A đến điểm chân đường vuông góc từ K đến AB. Tương tự, AF là đoạn thẳng từ A đến điểm chân đường vuông góc từ K đến AC. Do đó, \( AE = AK \cdot \cos C \) và \( AF = AK \cdot \cos B \). \[ AE = 9.6 \cdot \cos(36.87^\circ) \approx 9.6 \cdot 0.8 = 7.68 \, \text{cm} \] \[ AF = 9.6 \cdot \cos(53.13^\circ) \approx 9.6 \cdot 0.6 = 5.76 \, \text{cm} \] 2. Chứng minh: \[ AE \cdot AB + AF \cdot AC = 7.68 \cdot 12 + 5.76 \cdot 16 \] \[ = 92.16 + 92.16 = 184.32 \] \[ 2AK^2 = 2 \times (9.6)^2 = 2 \times 92.16 = 184.32 \] Vậy, \( AE \cdot AB + AF \cdot AC = 2AK^2 \). c) Chứng minh tứ giác MEFN là hình thang vuông và tính diện tích 1. Chứng minh MEFN là hình thang vuông: - M là trung điểm của BK, N là trung điểm của CK. - ME song song với NF vì cả hai đều vuông góc với AB và AC tương ứng. - Do đó, MEFN là hình thang vuông. 2. Tính diện tích hình thang: Chiều cao của hình thang là \( KE = KF = AK = 9.6 \, \text{cm} \). Độ dài hai đáy: \[ ME = \frac{BK}{2} = \frac{7.2}{2} = 3.6 \, \text{cm} \] \[ NF = \frac{CK}{2} = \frac{12.8}{2} = 6.4 \, \text{cm} \] Diện tích hình thang: \[ S = \frac{1}{2} \times (ME + NF) \times KE = \frac{1}{2} \times (3.6 + 6.4) \times 9.6 \] \[ = \frac{1}{2} \times 10 \times 9.6 = 48 \, \text{cm}^2 \] Vậy, diện tích của tứ giác MEFN là \( 48 \, \text{cm}^2 \).