Chứng minh rằng đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền.

Question

Timi · Accepted Answer

Để chứng minh rằng đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền, ta thực hiện các bước sau:

Giả sử tam giác vuông là $\triangle ABC$ với $\angle A = 90^\circ$, cạnh huyền là $BC$, và $M$ là trung điểm của $BC$. Ta cần chứng minh rằng $AM = \frac{1}{2}BC$.

1. Xét tam giác vuông $\triangle ABC$:
   - $AB$ và $AC$ là hai cạnh góc vuông.
   - $BC$ là cạnh huyền.

2. Xác định trung điểm $M$ của cạnh huyền $BC$:
   - Do $M$ là trung điểm của $BC$, nên $BM = MC = \frac{1}{2}BC$.

3. Chứng minh $AM = \frac{1}{2}BC$:
   - Xét tam giác $\triangle ABM$ và $\triangle ACM$:
     - $AB = AC$ (vì $\triangle ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$).
     - $BM = MC$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$).
     - $AM$ là cạnh chung.

- Do đó, $\triangle ABM \cong \triangle ACM$ theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c-c-c).

4. Suy ra:
   - Từ sự đồng dạng của hai tam giác, ta có $AM = BM = MC$.
   - Vì $BM = \frac{1}{2}BC$, nên $AM = \frac{1}{2}BC$.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền.