m Một con lắc đơn gồm quả cầu nhỏ có khối lượng 100g, tại nơi có có gia tốc trọng trường là 10-2. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc...

Bài toán cho: - Khối lượng quả cầu: \( m = 100g = 0.1 kg \) - Gia tốc trọng trường: \( g = 10^{-2} \, m/s^2 \) - Góc lệch ban đầu: \( \theta_0 = 0.1 \, rad \) - Tốc độ tại vị trí cần tìm là bằng nửa tốc độ cực đại. Yêu cầu: Tính lực kéo về khi vật qua vị trí có tốc độ bằng nửa tốc độ cực đại. --- **Bước 1: Xác định lực kéo về tại vị trí có góc lệch \(\theta\)** Lực kéo về trên con lắc đơn: \[ F = m g \sin \theta \] --- **Bước 2: Tìm góc \(\theta\) khi vận tốc bằng nửa vận tốc cực đại** - Vận tốc cực đại xảy ra ở vị trí cân bằng \(\theta = 0\). - Biểu thức vận tốc tại góc lệch \(\theta\): Áp dụng bảo toàn cơ năng: \[ E = \text{Động năng} + \text{Thế năng} = \text{hằng số} \] Tại góc lệch ban đầu \(\theta_0\), vận tốc ban đầu \(v_0=0\): \[ E = m g l (1 - \cos \theta_0) \] Tại vị trí góc \(\theta\), vận tốc là \(v\): \[ E = \frac{1}{2} m v^2 + m g l (1 - \cos \theta) \] Do bảo toàn năng lượng: \[ m g l (1 - \cos \theta_0) = \frac{1}{2} m v^2 + m g l (1 - \cos \theta) \] \[ \Rightarrow \frac{1}{2} m v^2 = m g l (\cos \theta - \cos \theta_0) \] Tại vị trí cân bằng \(\theta=0\), vận tốc cực đại \(v_{max}\): \[ \frac{1}{2} m v_{max}^2 = m g l (1 - \cos \theta_0) \] --- **Bước 3: Tìm \(\theta\) khi vận tốc bằng nửa vận tốc cực đại** Cho \(v = \frac{v_{max}}{2}\), thay vào biểu thức năng lượng: \[ \frac{1}{2} m v^2 = m g l (\cos \theta - \cos \theta_0) \] Thay \(v = \frac{v_{max}}{2}\): \[ \frac{1}{2} m \left(\frac{v_{max}}{2}\right)^2 = m g l (\cos \theta - \cos \theta_0) \] \[ \Rightarrow \frac{1}{2} m \frac{v_{max}^2}{4} = m g l (\cos \theta - \cos \theta_0) \] \[ \Rightarrow \frac{1}{8} m v_{max}^2 = m g l (\cos \theta - \cos \theta_0) \] Nhưng từ biểu thức vận tốc cực đại: \[ \frac{1}{2} m v_{max}^2 = m g l (1 - \cos \theta_0) \] Suy ra: \[ v_{max}^2 = 2 g l (1 - \cos \theta_0) \] Thay vào: \[ \frac{1}{8} m v_{max}^2 = m g l (\cos \theta - \cos \theta_0) \Rightarrow \frac{1}{8} m \cdot 2 g l (1 - \cos \theta_0) = m g l (\cos \theta - \cos \theta_0) \] Rút g l m chung: \[ \frac{1}{4} (1 - \cos \theta_0) = \cos \theta - \cos \theta_0 \] \[ \Rightarrow \cos \theta = \cos \theta_0 + \frac{1}{4} (1 - \cos \theta_0) = \cos \theta_0 + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos \theta_0 = \frac{3}{4} \cos \theta_0 + \frac{1}{4} \] --- **Bước 4: Tính giá trị số** Với \(\theta_0 = 0.1\) rad, tính \(\cos \theta_0\): \[ \cos 0.1 \approx 0.995 \] Thay vào: \[ \cos \theta = \frac{3}{4} \times 0.995 + \frac{1}{4} = 0.74625 + 0.25 = 0.99625 \] Từ đó: \[ \theta = \arccos(0.99625) \approx 0.087 \, rad \] --- **Bước 5: Tính lực kéo về tại góc \(\theta\)** \[ F = m g \sin \theta = 0.1 \times 10^{-2} \times \sin 0.087 \] Tính \(\sin 0.087\) rad: \[ \sin 0.087 \approx 0.087 \] Do góc nhỏ, \(\sin \theta \approx \theta\). Vậy: \[ F = 0.1 \times 10^{-2} \times 0.087 = 0.1 \times 0.01 \times 0.087 = 8.7 \times 10^{-5} \, N \] --- **Kết luận:** Lực kéo về khi vật qua vị trí có tốc độ bằng nửa tốc độ cực đại là khoảng: \[ \boxed{8.7 \times 10^{-5} \, N} \]