làm giúp mình và viết đáp án ở dưới cùng và giải ngắn gọn chính xác giúp mình Cho hàm số $y=f(x).$ Hàm số $y=f^\prime(x)$ có đồ thị như hình vẽ,,Tìm số điểm cực đại của đồ thị hàm số,$y=g(x)=f(x^2-4x+3)-3(x-2)^2+\frac12(x-2)^4$

Question

làm giúp mình và viết đáp án ở dưới cùng và giải ngắn gọn chính xác giúp mình Cho hàm số $y=f(x).$ Hàm số $y=f^\prime(x)$ có đồ thị như hình vẽ,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/5f3fa071a232441e96b96b9a7b39af08.jpg />,Tìm số điểm cực đại của đồ thị hàm số,$y=g(x)=f(x^2-4x+3)-3(x-2)^2+\frac12(x-2)^4$

Accepted Answer

Để tìm số điểm cực đại của hàm số $ y = g(x) = f(x^2 - 4x + 3) - 3(x-2)^2 + \frac{1}{2}(x-2)^4 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm điều kiện xác định:
   - Hàm số $ g(x) $ xác định với mọi $ x $ vì các biểu thức bên trong đều là đa thức.

2. Tìm đạo hàm của hàm số $ g(x) $:
   - Đặt $ u = x^2 - 4x + 3 $, khi đó $ g(x) = f(u) - 3(x-2)^2 + \frac{1}{2}(x-2)^4 $.
   - Đạo hàm $ u $ theo $ x $ là $ u&#x27; = 2x - 4 $.
   - Đạo hàm của $ g(x) $ là:
     $$
     g&#x27;(x) = f&#x27;(u) \cdot u&#x27; - 6(x-2) + 2(x-2)^3
     $$
     $$
     = f&#x27;(x^2 - 4x + 3) \cdot (2x - 4) - 6(x-2) + 2(x-2)^3
     $$

3. Tìm các điểm mà $ g&#x27;(x) = 0 $:
   - $ g&#x27;(x) = 0 $ khi:
     $$
     f&#x27;(x^2 - 4x + 3) \cdot (2x - 4) - 6(x-2) + 2(x-2)^3 = 0
     $$

4. Xác định các điểm cực trị của $ g(x) $:
   - Để $ g(x) $ có cực đại tại $ x $, cần $ g&#x27;(x) $ đổi dấu từ dương sang âm.
   - Xét hàm số $ y = f&#x27;(x) $ có đồ thị cho trước, ta thấy $ f&#x27;(x) $ đổi dấu tại các điểm $ x = -1, 0, 1, 2 $.

5. Xét hàm $ u = x^2 - 4x + 3 $:
   - $ u = 0 $ khi $ x^2 - 4x + 3 = 0 $, giải phương trình này ta được $ x = 1 $ hoặc $ x = 3 $.
   - Tại các điểm này, ta kiểm tra dấu của $ g&#x27;(x) $ để xác định cực trị.

6. Kết luận:
   - Từ đồ thị $ y = f&#x27;(x) $, ta thấy có 2 điểm cực đại của $ f(x) $ tại $ x = -1 $ và $ x = 1 $.
   - Với $ u = x^2 - 4x + 3 $, ta có thể có các điểm cực đại tương ứng với các giá trị $ x $ thỏa mãn $ u = -1 $ hoặc $ u = 1 $.
   - Do đó, số điểm cực đại của hàm số $ g(x) $ là 2.

Đáp án: Số điểm cực đại của đồ thị hàm số $ y = g(x) $ là 2.