Câu 2(TH). Tìm tổng giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3x+4 / x-5 trên đoạn [-2;1]?

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{3x + 4}{x - 5} \) trên đoạn \([-2, 1]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số \( y = \frac{3x + 4}{x - 5} \) là một phân thức, do đó chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức để tìm đạo hàm của nó. Đặt \( u = 3x + 4 \) và \( v = x - 5 \). Ta có: \[ u' = 3 \quad \text{và} \quad v' = 1 \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Thay \( u \), \( u' \), \( v \), và \( v' \) vào công thức: \[ y' = \frac{(3)(x - 5) - (3x + 4)(1)}{(x - 5)^2} \] \[ y' = \frac{3x - 15 - 3x - 4}{(x - 5)^2} \] \[ y' = \frac{-19}{(x - 5)^2} \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: Đạo hàm \( y' = \frac{-19}{(x - 5)^2} \) luôn âm vì tử số \(-19\) là số âm và mẫu số \((x - 5)^2\) luôn dương (trừ khi \( x = 5 \), nhưng \( x = 5 \) không nằm trong đoạn \([-2, 1]\)). Do đó, hàm số \( y = \frac{3x + 4}{x - 5} \) luôn giảm trên đoạn \([-2, 1]\). 3. Tính giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = -2 \): \[ y(-2) = \frac{3(-2) + 4}{-2 - 5} = \frac{-6 + 4}{-7} = \frac{-2}{-7} = \frac{2}{7} \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = \frac{3(1) + 4}{1 - 5} = \frac{3 + 4}{-4} = \frac{7}{-4} = -\frac{7}{4} \] 4. So sánh các giá trị đã tính: - \( y(-2) = \frac{2}{7} \) - \( y(1) = -\frac{7}{4} \) Vì hàm số luôn giảm trên đoạn \([-2, 1]\), giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn này sẽ là giá trị tại \( x = 1 \). 5. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{3x + 4}{x - 5} \) trên đoạn \([-2, 1]\) là: \[ \boxed{-\frac{7}{4}} \]