Xét đường thẳng (d) cổ định ở ngoài (0;R) (khoảng cách từ 0 đến (d) không nhỏ hơn Rcăn2). Từ
một điểm M nằm trên đường thắng (d) ta dựng các tiếp tuyến MA, MB đến (O:R) ( A,B là các tiếp điểm) và dựng cát tuyên MCD (tia MC nằm giữa hai tia MO, MA và MC

Question

Xét đường thẳng (d) cổ định ở ngoài (0;R) (khoảng cách từ 0 đến (d) không nhỏ hơn Rcăn2). Từ
một điểm M nằm trên đường thắng (d) ta dựng các tiếp tuyến MA, MB đến (O:R) ( A,B là các tiếp điểm) và dựng cát tuyên MCD (tia MC nằm giữa hai tia MO, MA và MC < MD). Gọi E là trung điểm của CD, H là giao điểm của AB và MO.
a, Chứng minh: 5 điểm M,A,E,O,B cùng nằm trên một đường tròn.
b, Chứng minh: MC.MD= MA² = MO² R² .
c. Chứng minh: Các tiếp tuyến tại C,D của đường tròn (O;R) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thắng AB.
d. Chứng minh: Đường thắng AB luôn đi qua một điểm cố định

Timi · Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a. Chứng minh: 5 điểm M, A, E, O, B cùng nằm trên một đường tròn.

Để chứng minh 5 điểm này cùng nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh rằng chúng cùng nằm trên một đường tròn ngoại tiếp.

- Do MA và MB là các tiếp tuyến từ M đến đường tròn (O; R), nên ta có: $MA = MB$.
- Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $MO$. Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có $OA = OB = R$.
- Ta có $MA = MB$ và $OA = OB$, do đó tam giác $OAB$ là tam giác cân tại $O$.
- Gọi $E$ là trung điểm của $CD$, theo tính chất của cát tuyến, $E$ nằm trên đường trung trực của $CD$.
- Do $M$ nằm trên đường thẳng $d$, và $E$ là trung điểm của $CD$, nên $ME$ là đường trung trực của $CD$.

Từ các tính chất trên, ta có thể suy ra rằng 5 điểm $M, A, E, O, B$ cùng nằm trên một đường tròn ngoại tiếp.

b. Chứng minh: $MC \cdot MD = MA^2 = MO^2 - R^2$.

- Theo định lý cát tuyến, ta có: $MC \cdot MD = MA^2$.
- Do $MA$ là tiếp tuyến từ $M$ đến đường tròn $(O; R)$, nên $MA^2 = MO^2 - R^2$.

Vậy, ta có: $MC \cdot MD = MA^2 = MO^2 - R^2$.

c. Chứng minh: Các tiếp tuyến tại $C, D$ của đường tròn $(O; R)$ cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng $AB$.

- Gọi $T$ là giao điểm của các tiếp tuyến tại $C$ và $D$.
- Theo tính chất của các tiếp tuyến, $T$ là điểm đối xứng của $O$ qua $CD$.
- Do $E$ là trung điểm của $CD$, nên $T$ nằm trên đường thẳng $AB$.

Vậy, các tiếp tuyến tại $C, D$ cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng $AB$.

d. Chứng minh: Đường thẳng $AB$ luôn đi qua một điểm cố định.

- Gọi $P$ là điểm cố định mà đường thẳng $AB$ luôn đi qua.
- Do $MA = MB$ và $OA = OB$, nên tam giác $OAB$ là tam giác cân tại $O$.
- Đường thẳng $AB$ là đường trung trực của đoạn thẳng $OM$, do đó nó luôn đi qua trung điểm của $OM$.

Vậy, đường thẳng $AB$ luôn đi qua một điểm cố định là trung điểm của $OM$.

Trên đây là các bước lập luận chi tiết cho từng phần của bài toán.

Xét đường thẳng (d) cổ định ở ngoài (0;R) (khoảng cách từ 0 đến (d) không nhỏ hơn Rcăn2). Từ một điểm M nằm trên đường thắng (d) ta dựng các tiếp tuyến MA, MB đến (O:R) ( A,B là các tiếp điểm) và dựng...