Hai người cùng xuất phát đi từ A đến B với quảng đường S theo 2 cách: người thứ nhất nửa quảng đường đầu đi với tốc độ v1, nửa quảng đường sau đi với tốc độ v2. Người thứ hai nửa thời gian đầu đi với t...

Cho quảng đường AB có độ dài là \( S \). **Người thứ nhất:** - Nửa quảng đường đầu đi với tốc độ \( v_1 \), tức là đoạn đường \( \frac{S}{2} \). - Nửa quảng đường sau đi với tốc độ \( v_2 \), đoạn đường còn lại \( \frac{S}{2} \). Thời gian người thứ nhất đi hết đoạn đường là: \[ t_1 = \frac{\frac{S}{2}}{v_1} + \frac{\frac{S}{2}}{v_2} = \frac{S}{2} \left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right) \] --- **Người thứ hai:** - Nửa thời gian đầu đi với tốc độ \( v_1 \). - Nửa thời gian sau đi với tốc độ \( v_2 \). Gọi tổng thời gian đi hết quảng đường là \( t_2 \). - Thời gian nửa đầu: \( \frac{t_2}{2} \), quãng đường đi được trong nửa thời gian đầu: \[ s_1 = v_1 \times \frac{t_2}{2} \] - Thời gian nửa sau: \( \frac{t_2}{2} \), quãng đường đi được: \[ s_2 = v_2 \times \frac{t_2}{2} \] Tổng quãng đường: \[ s_1 + s_2 = S \implies v_1 \frac{t_2}{2} + v_2 \frac{t_2}{2} = S \implies \frac{t_2}{2}(v_1 + v_2) = S \] Giải ra: \[ t_2 = \frac{2S}{v_1 + v_2} \] --- **So sánh thời gian:** \[ t_1 = \frac{S}{2} \left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right) = \frac{S}{2} \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2} = \frac{S (v_1 + v_2)}{2 v_1 v_2} \] \[ t_2 = \frac{2 S}{v_1 + v_2} \] So sánh \( t_1 \) và \( t_2 \): \[ t_1 < t_2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{S (v_1 + v_2)}{2 v_1 v_2} < \frac{2 S}{v_1 + v_2} \] Bỏ \( S > 0 \) cả hai bên: \[ \frac{v_1 + v_2}{2 v_1 v_2} < \frac{2}{v_1 + v_2} \] Nhân chéo: \[ (v_1 + v_2)^2 < 4 v_1 v_2 \] Tuy nhiên, ta biết: \[ (v_1 - v_2)^2 = v_1^2 - 2 v_1 v_2 + v_2^2 \geq 0 \implies v_1^2 + 2 v_1 v_2 + v_2^2 \geq 4 v_1 v_2 \] hay \[ (v_1 + v_2)^2 \geq 4 v_1 v_2 \] Vậy điều kiện \( (v_1 + v_2)^2 < 4 v_1 v_2 \) không thể xảy ra (ngoại trừ trường hợp \( v_1 = v_2 \)). Nếu \( v_1 = v_2 = v \), thì: \[ t_1 = \frac{S (v + v)}{2 v v} = \frac{S \cdot 2 v}{2 v^2} = \frac{S}{v} \] \[ t_2 = \frac{2 S}{v + v} = \frac{2 S}{2 v} = \frac{S}{v} \] Hai thời gian bằng nhau. Nếu \( v_1 \neq v_2 \), thì: \[ t_1 > t_2 \] --- **Kết luận:** - Người thứ hai sẽ đến đích trước. - Nếu hai tốc độ bằng nhau thì cùng đến đồng thời. --- **Tóm tắt:** \[ \boxed{ \text{Người thứ hai đến B trước, trừ trường hợp } v_1 = v_2 \text{ thì đến cùng lúc} } \]