Giải phương trình 4x² - 9 = 5x + $6\sqrt{x+1}$.

Điều kiện xác định: \( x \geq -1 \) Ta có phương trình: \[ 4x^2 - 9 = 5x + 6\sqrt{x+1} \] Bước 1: Đặt \( t = \sqrt{x+1} \). Khi đó \( t \geq 0 \) và \( x = t^2 - 1 \). Bước 2: Thay \( x = t^2 - 1 \) vào phương trình ban đầu: \[ 4(t^2 - 1)^2 - 9 = 5(t^2 - 1) + 6t \] Bước 3: Khai triển và rút gọn: \[ 4(t^4 - 2t^2 + 1) - 9 = 5t^2 - 5 + 6t \] \[ 4t^4 - 8t^2 + 4 - 9 = 5t^2 - 5 + 6t \] \[ 4t^4 - 8t^2 - 5 = 5t^2 - 5 + 6t \] \[ 4t^4 - 13t^2 - 6t = 0 \] Bước 4: Chia cả hai vế cho \( t \) (vì \( t \geq 0 \)): \[ 4t^3 - 13t - 6 = 0 \] Bước 5: Giải phương trình bậc ba này bằng phương pháp thử nghiệm hoặc sử dụng công thức nghiệm tổng quát (phù hợp với trình độ lớp 9): \[ 4t^3 - 13t - 6 = 0 \] Bước 6: Tìm nghiệm của phương trình trên: \[ t = 2 \] Bước 7: Thay \( t = 2 \) trở lại để tìm \( x \): \[ x = t^2 - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \] Bước 8: Kiểm tra nghiệm \( x = 3 \) thỏa mãn điều kiện ban đầu: \[ 4(3)^2 - 9 = 5(3) + 6\sqrt{3+1} \] \[ 36 - 9 = 15 + 6 \cdot 2 \] \[ 27 = 27 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 3 \]