cho hình thang cân ABCD có AB//CD, AB<CD . Lấy M, N lần lượt là trung điểm CD, AB. Vẽ hình và chứng minh: a, AM=BM b MN là đường cao của hình thang

Để giải bài toán này, chúng ta cần vẽ hình và chứng minh từng phần theo yêu cầu. Vẽ hình: 1. Vẽ hình thang cân \(ABCD\) với \(AB \parallel CD\) và \(AB < CD\). 2. Lấy \(M\) là trung điểm của \(CD\) và \(N\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh: a) Chứng minh \(AM = BM\): - Vì \(M\) là trung điểm của \(CD\), nên \(CM = MD\). - Hình thang \(ABCD\) là hình thang cân, do đó \(AC = BD\). - Xét hai tam giác \(AMC\) và \(BMD\): - \(AC = BD\) (do hình thang cân). - \(CM = MD\) (do \(M\) là trung điểm của \(CD\)). - Góc \(AMC =\) góc \(BMD\) (vì \(AB \parallel CD\) nên hai góc này là hai góc so le trong). - Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có \(\triangle AMC \cong \triangle BMD\). - Suy ra \(AM = BM\). b) Chứng minh \(MN\) là đường cao của hình thang: - Vì \(N\) là trung điểm của \(AB\), nên \(AN = NB\). - Từ phần a, ta đã có \(AM = BM\). - Xét tam giác \(AMN\) và tam giác \(BMN\): - \(AM = BM\) (đã chứng minh ở phần a). - \(AN = NB\) (do \(N\) là trung điểm của \(AB\)). - \(MN\) là cạnh chung. - Do đó, theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c-c-c), ta có \(\triangle AMN \cong \triangle BMN\). - Suy ra góc \(AMN =\) góc \(BMN\). - Vì \(AB \parallel CD\), nên góc \(AMN\) và góc \(BMN\) là hai góc đối đỉnh. - Do đó, \(MN\) vuông góc với \(AB\) và \(CD\), tức là \(MN\) là đường cao của hình thang. Vậy, ta đã chứng minh được \(AM = BM\) và \(MN\) là đường cao của hình thang.