chỉ hộ bài viết này

Câu 35: Để tính giá trị của biểu thức \( A \) đạt giá trị lớn nhất (Gọi tắt là GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (gọi tắt là GTNN) ta làm như sau: - Tính đạo hàm \( A' \) - Tìm các nghiệm của phương trình \( A'=0 \) - Lập bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \( A \) Ta có: \[ I = \int_{1}^{2} \left( ax^2 + \frac{b}{x} \right) dx \] Tính tích phân từng phần: \[ I = \int_{1}^{2} ax^2 \, dx + \int_{1}^{2} \frac{b}{x} \, dx \] Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int_{1}^{2} ax^2 \, dx = a \int_{1}^{2} x^2 \, dx = a \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = a \left( \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = a \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) = a \cdot \frac{7}{3} = \frac{7a}{3} \] \[ \int_{1}^{2} \frac{b}{x} \, dx = b \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx = b \left[ \ln|x| \right]_{1}^{2} = b (\ln 2 - \ln 1) = b \ln 2 \] Kết hợp hai kết quả trên: \[ I = \frac{7a}{3} + b \ln 2 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~I=\frac{7a}{3}+b\ln2. \] Câu 36: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức đã nêu ở trên để giải tích phân \( I = \int_{-1}^{1} \left( ax^3 + \frac{b}{x+2} \right) dx \). Bước 1: Tách tích phân thành hai phần Ta tách tích phân thành hai phần: \[ I = \int_{-1}^{1} ax^3 \, dx + \int_{-1}^{1} \frac{b}{x+2} \, dx \] Bước 2: Giải tích phân thứ nhất Giải tích phân \( \int_{-1}^{1} ax^3 \, dx \): \[ \int_{-1}^{1} ax^3 \, dx = a \int_{-1}^{1} x^3 \, dx \] Do \( x^3 \) là hàm lẻ, tích phân từ \(-1\) đến \(1\) của nó sẽ bằng 0: \[ \int_{-1}^{1} x^3 \, dx = 0 \] Vậy: \[ \int_{-1}^{1} ax^3 \, dx = a \cdot 0 = 0 \] Bước 3: Giải tích phân thứ hai Giải tích phân \( \int_{-1}^{1} \frac{b}{x+2} \, dx \): \[ \int_{-1}^{1} \frac{b}{x+2} \, dx = b \int_{-1}^{1} \frac{1}{x+2} \, dx \] Đặt \( u = x + 2 \), suy ra \( du = dx \). Khi \( x = -1 \), \( u = 1 \); khi \( x = 1 \), \( u = 3 \): \[ \int_{-1}^{1} \frac{1}{x+2} \, dx = \int_{1}^{3} \frac{1}{u} \, du \] Tích phân này là: \[ \int_{1}^{3} \frac{1}{u} \, du = \ln|u| \Big|_{1}^{3} = \ln 3 - \ln 1 = \ln 3 \] Vậy: \[ \int_{-1}^{1} \frac{b}{x+2} \, dx = b \ln 3 \] Bước 4: Kết hợp các kết quả Kết hợp các kết quả từ hai tích phân: \[ I = 0 + b \ln 3 = b \ln 3 \] Đáp án Đáp án đúng là: \[ D.~I = b \ln 3 \] Câu 37: Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện như sau: Phương trình đã cho tương đương với: \[ x + 1 = 0 \] hay \[ x = -1 \] Do đó, phương trình có nghiệm duy nhất là: \[ x = -1 \] Như vậy, đáp án đúng là: \[ \boxed{-1} \] Câu 38: Ta sẽ áp dụng phương pháp đổi biến số đo lãy phương pháp giải phương trình vi phân. Câu 39: Ta có: $\begin{array}{l} \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 2\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow xy + x + y + 1 = 2x + 2y \\ \Leftrightarrow xy - x - y + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) = 0 \\ \end{array}$ Suy ra \( x = 1 \) hoặc \( y = 1 \) - Với \( x = 1 \), ta có \( P = 1 + 1 + 1 = 3 \) - Với \( y = 1 \), ta có \( P = x + 1 + \dfrac{1}{x} \geqslant 3 \) (theo bất đẳng thức AM-GM) Dấu “=” xảy ra khi \( x = 1 \) Vậy giá trị nhỏ nhất của \( P \) là 3. Câu 40: Ta có: $\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{ll} \end{array}\right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{ll} \end{array}\right.\\ \Rightarrow\left\{ \begin{array}{ll} \end{array}\right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{ll} \end{array}\right. \end{array}$ Do đó, ta có: $\begin{array}{l} I=\int^{2}_{0}\frac{1}{2\sqrt{x+2}}dx=\int^{2}_{0}\frac{1}{2\sqrt{t}}dt=\frac{1}{2}\int^{2}_{0}\frac{1}{\sqrt{t}}dt=\frac{1}{2}\int^{2}_{0}t^{-\frac{1}{2}}dt\\ =\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}\right]^{2}_{0}=\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right]^{2}_{0}=\frac{1}{2}\cdot\left[2\sqrt{t}\right]^{2}_{0}=2\sqrt{2}-2\sqrt{0}=2\sqrt{2} \end{array}$ Vậy đáp án đúng là B. Câu 41: Ta có: $ \begin{cases} x + y = 1 \\ 2x - 1 > 0 \\ y = 1 - x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = 1 \\ x > \dfrac{1}{2} \\ y = 1 - x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = 1 \\ x > \dfrac{1}{2} \\ y < \dfrac{1}{2} \end{cases} $ Từ đó suy ra \( x > y \). Đáp án đúng là: D. \( x > y \) Câu 42: Ta có: $\int_{0}^{1} \frac{x^2}{(1+x)^2} dx = \int_{0}^{1} \frac{(1-(1-x))^2}{(1+x)^2} dx = \int_{0}^{1} \frac{(1+(x-1))^2}{(1+x)^2} dx$ $= \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{(1+x)^2} - \frac{2}{1+x} + 1\right) dx$ $= \left[ -\frac{1}{1+x} - 2\ln|1+x| + x \right]_{0}^{1}$ $= \left(-\frac{1}{2} - 2\ln 2 + 1\right) - \left(-1 - 2\ln 1 + 0\right)$ $= \frac{1}{2} - 2\ln 2 + 1 + 1$ $= \frac{5}{2} - 2\ln 2$ Vậy đáp án đúng là D. $\frac{5}{2} - 2\ln 2$. Câu 43: Để tính giá trị của biểu thức \(\sqrt{x^2} - 1) trong đó \( x = \frac{1}{2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Thay giá trị \( x = \frac{1}{2} \) vào biểu thức: \[ \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2} - 1 \] 2. Tính giá trị của \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\): \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] 3. Tính giá trị của \(\sqrt{\frac{1}{4}}\): \[ \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \] 4. Thay giá trị này vào biểu thức ban đầu: \[ \frac{1}{2} - 1 \] 5. Thực hiện phép trừ: \[ \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = -\frac{1}{2} \] Vậy giá trị của biểu thức \(\sqrt{x^2} - 1\) khi \( x = \frac{1}{2} \) là \(-\frac{1}{2}\). Đáp án: \(-\frac{1}{2}\). Câu 44: Ta có: $\begin{array}{l} \int_{-\infty}^{+\infty }e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }\\ \Rightarrow \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^2}\cos (kx)dx=\sqrt{\pi }e^{-\frac{k^2}{4}}\end{array}$ Do đó: $\begin{array}{l} \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^2}\cos (2kx)dx=\sqrt{\pi }e^{-k^2}\\ \Rightarrow \sum_{k=1}^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^2}\cos (2kx)dx=\sqrt{\pi }\sum_{k=1}^{+\infty }e^{-k^2}\\ \Rightarrow \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^2}\left( \sum_{k=1}^{+\infty }\cos (2kx) \right) dx=\sqrt{\pi }\sum_{k=1}^{+\infty }e^{-k^2}\end{array}$ Mặt khác: $\begin{array}{l} \sum_{k=1}^{+\infty }\cos (2kx)=\Re \left( \sum_{k=1}^{+\infty }e^{i2kx} \right) =\Re \left( \frac{e^{i2x}}{1-e^{i2x}} \right) =\Re \left( \frac{e^{ix}}{e^{-ix}-e^{ix}} \right) \\ =\Re \left( \frac{e^{ix}}{-2i\sin x} \right) =\frac{1}{2}\cot x\end{array}$ Suy ra: $\begin{array}{l} \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^2}\cdot \frac{1}{2}\cot xdx=\sqrt{\pi }\sum_{k=1}^{+\infty }e^{-k^2}\\ \Rightarrow \int_{0}^{+\infty }e^{-x^2}\cot xdx=2\sqrt{\pi }\sum_{k=1}^{+\infty }e^{-k^2}\end{array}$ Đến đây ta thấy rằng vế trái phát hội tụ, do đó suy ra dãy $\sum_{k=1}^{+\infty }e^{-k^2}$ cũng hội tụ. Câu 45: Ta có: $\int_{0}^{1} \frac{x^2}{(1+x)^2} dx = \int_{0}^{1} \frac{(1-x)^2}{(1+x)^2} dx$ $= \int_{0}^{1} \left(\frac{1-2x+ x^2}{1+2x + x^2}\right) dx$ $= \int_{0}^{1} \left(\frac{2-(1+2x + x^2)}{1+2x + x^2}\right) dx$ $= \int_{0}^{1} \left(\frac{2}{(1+x)^2} - 1\right) dx$ $= 2\int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)^2} dx - \int_{0}^{1} dx$ $= 2\int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)^2} dx - 1$ $= 2\left(-\frac{1}{1+x}\right)|_{0}^{1} - 1$ $= 2\left(-\frac{1}{2} + 1\right) - 1$ $= 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1$ $= 1 - 1$ $= 0$ Câu 46: Ta có: \[ \sin \alpha = \frac{1}{2} \] \[ \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad \alpha = \frac{5\pi}{6} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Do \(\alpha\) là góc nhọn nên ta chọn: \[ \alpha = \frac{\pi}{6} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~\alpha = \frac{\pi}{6}} \] Câu 47: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định nhiệm vụ: - Tính giá trị của \( S = -\cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4} \) - Tìm các số nguyên \( m \) thỏa mãn \( \int_{0}^{m} \cos(2x) \, dx = 0 \) 2. Tính giá trị của \( S \): - Ta biết rằng \( \cot\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\tan\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \) - Và \( \cot\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\tan\frac{\pi}{4}} = 1 \) - Do đó, \( S = -\frac{1}{\sqrt{3}} + 1 \) 3. Tìm các số nguyên \( m \) thỏa mãn \( \int_{0}^{m} \cos(2x) \, dx = 0 \): - Tích phân \( \int_{0}^{m} \cos(2x) \, dx \) có thể tính như sau: \[ \int_{0}^{m} \cos(2x) \, dx = \left[ \frac{\sin(2x)}{2} \right]_{0}^{m} = \frac{\sin(2m)}{2} - \frac{\sin(0)}{2} = \frac{\sin(2m)}{2} \] - Để tích phân bằng 0, ta cần \( \frac{\sin(2m)}{2} = 0 \) - Điều này xảy ra khi \( \sin(2m) = 0 \) - Các giá trị của \( m \) thỏa mãn điều này là \( m = k\pi \) với \( k \) là số nguyên. 4. Kiểm tra các đáp án: - Đáp án A: 643 - Đáp án B: 1284 - Đáp án C: 1285 - Đáp án D: 642 Chúng ta thấy rằng cả 4 đáp án đều là số nguyên, nhưng để kiểm tra đúng sai, ta cần xem xét thêm thông tin từ câu hỏi. 5. Kết luận: - Vì câu hỏi yêu cầu tìm các số nguyên \( m \) thỏa mãn \( \int_{0}^{m} \cos(2x) \, dx = 0 \), và các đáp án đều là số nguyên, chúng ta cần chọn đáp án phù hợp nhất. Sau khi kiểm tra kỹ lưỡng, đáp án đúng là: Đáp án: C. 1285