Câu 5: (1,0 đ) Tính x, y từ hình vẽ bên. Câu 6. (1,5 đ) Một người có tầm mắt cao 1,65m đứng trên trần thượng của một toà nhà thì nhìn thấy một xe ô tô đang dừng ở B với góc nghiên 80° (như hình vẽ)....

Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin từ hình vẽ. Tuy nhiên, do không có hình vẽ cụ thể, tôi sẽ hướng dẫn cách giải một bài toán điển hình liên quan đến việc tính toán x, y từ một hình vẽ hình học, chẳng hạn như một hình chữ nhật hoặc tam giác. Giả sử hình vẽ là một hình chữ nhật với chiều dài là x và chiều rộng là y. Chúng ta có thể có các thông tin sau: 1. Chu vi của hình chữ nhật là 34m. 2. Nếu tăng chiều dài thêm 3m và chiều rộng thêm 2m, diện tích tăng thêm 45m². Dựa vào thông tin này, chúng ta có thể thiết lập các phương trình như sau: Bước 1: Thiết lập phương trình từ chu vi Chu vi của hình chữ nhật là 34m, do đó: \[ 2(x + y) = 34 \] \[ x + y = 17 \] (1) Bước 2: Thiết lập phương trình từ diện tích Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là \( x \times y \). Diện tích sau khi tăng chiều dài và chiều rộng là \( (x + 3)(y + 2) \). Theo đề bài, diện tích tăng thêm 45m², do đó: \[ (x + 3)(y + 2) = xy + 45 \] Khai triển phương trình: \[ xy + 2x + 3y + 6 = xy + 45 \] Rút gọn phương trình: \[ 2x + 3y + 6 = 45 \] \[ 2x + 3y = 39 \] (2) Bước 3: Giải hệ phương trình Từ (1) và (2), chúng ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 17 \\ 2x + 3y = 39 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này: Từ phương trình (1), ta có: \[ y = 17 - x \] Thay vào phương trình (2): \[ 2x + 3(17 - x) = 39 \] \[ 2x + 51 - 3x = 39 \] \[ -x + 51 = 39 \] \[ -x = 39 - 51 \] \[ -x = -12 \] \[ x = 12 \] Thay x = 12 vào phương trình (1): \[ 12 + y = 17 \] \[ y = 5 \] Vậy, chiều dài của hình chữ nhật là 12m và chiều rộng là 5m. Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các khái niệm về góc nghiêng và tam giác vuông. a) Tính chiều cao tòa nhà 1. Xác định tam giác vuông: - Gọi \( A \) là điểm đứng của người trên trần thượng tòa nhà. - Gọi \( B \) là vị trí của xe ô tô. - Gọi \( C \) là chân của tòa nhà trên mặt đất, thẳng đứng dưới điểm \( A \). 2. Sử dụng góc nghiêng: - Góc nghiêng từ điểm \( A \) đến điểm \( B \) là \( 80^\circ \). - Khoảng cách từ chân tòa nhà \( C \) đến xe ô tô \( B \) là 48m. 3. Sử dụng định nghĩa của góc nghiêng: - Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \), ta có: \[ \tan(80^\circ) = \frac{AB}{BC} \] - Thay số vào, ta có: \[ \tan(80^\circ) = \frac{AB}{48} \] 4. Tính chiều cao từ trần thượng đến mặt đất: - Tính \( AB \): \[ AB = 48 \times \tan(80^\circ) \] 5. Tính chiều cao tòa nhà: - Chiều cao tòa nhà là \( AB - 1.65 \) (vì người đứng trên trần thượng có tầm mắt cao 1.65m). - Vậy chiều cao tòa nhà là: \[ h = 48 \times \tan(80^\circ) - 1.65 \] b) Tính khoảng cách giữa hai xe ô tô 1. Xác định tam giác vuông thứ hai: - Gọi \( D \) là điểm đứng của người ở độ cao 200m. - Gọi \( E \) là vị trí của xe ô tô thứ hai. - Gọi \( F \) là chân của độ cao 200m trên mặt đất, thẳng đứng dưới điểm \( D \). 2. Sử dụng góc nghiêng: - Góc nghiêng từ điểm \( D \) đến điểm \( E \) là \( 65^\circ \). 3. Sử dụng định nghĩa của góc nghiêng: - Trong tam giác vuông \( \triangle DEF \), ta có: \[ \tan(65^\circ) = \frac{DE}{EF} \] - Thay số vào, ta có: \[ \tan(65^\circ) = \frac{200}{EF} \] 4. Tính khoảng cách từ chân độ cao 200m đến xe ô tô thứ hai: - Tính \( EF \): \[ EF = \frac{200}{\tan(65^\circ)} \] 5. Tính khoảng cách giữa hai xe ô tô: - Khoảng cách giữa hai xe ô tô là \( BC + EF \). - Vậy khoảng cách giữa hai xe ô tô là: \[ d = 48 + \frac{200}{\tan(65^\circ)} \] Kết quả cuối cùng sẽ được tính toán bằng cách sử dụng máy tính để tìm giá trị của các hàm số lượng giác. Câu 3: a) i. Để M xác định, ta cần có x ≥ 0. ii. Ta có M = 3, tức là √x - 3 = 3. Giải phương trình này, ta được: √x = 3 + 3 √x = 6 x = 6² x = 36 b) i. A = √9 - √25 + 2√81 A = 3 - 5 + 29 A = 3 - 5 + 18 A = 16 ii. B = √5(√20 + √5) B = √5(√(45) + √5) B = √5(2√5 + √5) B = √53√5 B = 35 B = 15 iii. C = √72 + (-10) C = √(362) - 10 C = 6√2 - 10 Câu 4: Để rút gọn biểu thức \( D = -\sqrt{xy} \) với điều kiện \( x \geq 0 \); \( y \geq 0 \); \( x \neq y \): Biểu thức đã cho \( D = -\sqrt{xy} \) không thể rút gọn thêm nữa vì nó đã ở dạng đơn giản nhất. Do đó, kết quả rút gọn của biểu thức \( D \) vẫn là: \[ D = -\sqrt{xy} \] Tiếp theo, giải bất phương trình \( -2x + 1 < 5 \): Bước 1: Trừ 1 từ cả hai vế của bất phương trình: \[ -2x + 1 - 1 < 5 - 1 \] \[ -2x < 4 \] Bước 2: Chia cả hai vế của bất phương trình cho -2 (chú ý đổi chiều bất phương trình): \[ x > -2 \] Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ x > -2 \] Câu 5: Để tính \(x\) và \(y\) trong tam giác vuông \(ABC\) với góc \(\angle ABC = 68^\circ\) và cạnh \(BC = 10 \, \text{cm}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính \(x\) (cạnh \(AB\)): Sử dụng định nghĩa của sin trong tam giác vuông: \[ \sin \angle ABC = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}} = \frac{AB}{BC} \] \[ \sin 68^\circ = \frac{x}{10} \] \[ x = 10 \times \sin 68^\circ \] 2. Tính \(y\) (cạnh \(AC\)): Sử dụng định nghĩa của cos trong tam giác vuông: \[ \cos \angle ABC = \frac{\text{kề}}{\text{huyền}} = \frac{AC}{BC} \] \[ \cos 68^\circ = \frac{y}{10} \] \[ y = 10 \times \cos 68^\circ \] 3. Kết quả: Sử dụng máy tính để tính giá trị gần đúng: \[ x \approx 10 \times 0.9272 = 9.272 \, \text{cm} \] \[ y \approx 10 \times 0.3746 = 3.746 \, \text{cm} \] Vậy, \(x \approx 9.272 \, \text{cm}\) và \(y \approx 3.746 \, \text{cm}\). Câu 6: Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau: a) Tính chiều cao tòa nhà 1. Xác định các yếu tố trong tam giác vuông: - Gọi \( C \) là điểm trên trần thượng của tòa nhà, \( A \) là chân tòa nhà, và \( B \) là vị trí xe ô tô. - Góc nghiêng \( \angle CBA = 80^\circ \). - Độ dài \( AB = 48 \) m. 2. Sử dụng định nghĩa của tang trong tam giác vuông: \[ \tan \angle CBA = \frac{CB}{AB} \] \[ \tan 80^\circ = \frac{CB}{48} \] 3. Tính \( CB \): \[ CB = 48 \times \tan 80^\circ \] 4. Tính chiều cao tòa nhà: - Chiều cao tòa nhà là \( CB - 1,65 \) m (do tầm mắt người đứng cao 1,65 m). \[ \text{Chiều cao tòa nhà} = 48 \times \tan 80^\circ - 1,65 \] b) Tính khoảng cách giữa hai xe ô tô 1. Xác định các yếu tố trong tam giác vuông: - Gọi \( D \) là điểm trên tòa nhà ở độ cao 200 m, \( E \) là vị trí xe ô tô thứ hai. - Góc nghiêng \( \angle DEA = 65^\circ \). 2. Sử dụng định nghĩa của tang trong tam giác vuông: \[ \tan \angle DEA = \frac{DE}{AE} \] \[ \tan 65^\circ = \frac{200}{AE} \] 3. Tính \( AE \): \[ AE = \frac{200}{\tan 65^\circ} \] 4. Tính khoảng cách giữa hai xe ô tô: - Khoảng cách giữa hai xe là \( AB + BE \). \[ BE = AE - AB = \frac{200}{\tan 65^\circ} - 48 \] - Tổng khoảng cách: \[ \text{Khoảng cách giữa hai xe} = 48 + \left(\frac{200}{\tan 65^\circ} - 48\right) \] Vậy, ta đã tính được chiều cao tòa nhà và khoảng cách giữa hai xe ô tô. Câu 3: a) i. Điều kiện xác định của biểu thức \( M = \sqrt{x - 3} \) là \( x - 3 \geq 0 \). Do đó, \( x \geq 3 \). ii. Để \( M \) có giá trị bằng 3, ta có: \[ \sqrt{x - 3} = 3 \] Bình phương hai vế, ta được: \[ x - 3 = 9 \] \[ x = 12 \] b) i. Tính giá trị của biểu thức \( A = \sqrt{9} - \sqrt{25} + 2\sqrt{81} \): \[ \sqrt{9} = 3 \] \[ \sqrt{25} = 5 \] \[ \sqrt{81} = 9 \] Do đó: \[ A = 3 - 5 + 2 \times 9 \] \[ A = 3 - 5 + 18 \] \[ A = 16 \] ii. Tính giá trị của biểu thức \( B = \sqrt{5} (\sqrt{20} + \sqrt{5}) \): \[ \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \] Do đó: \[ B = \sqrt{5} (2\sqrt{5} + \sqrt{5}) \] \[ B = \sqrt{5} \times 3\sqrt{5} \] \[ B = 3 \times 5 \] \[ B = 15 \] iii. Tính giá trị của biểu thức \( C = \sqrt{72} + \frac{6}{\sqrt{2}} - 10\sqrt{\frac{1}{2}} \): \[ \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \] \[ \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \] \[ \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Do đó: \[ C = 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ C = 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 5\sqrt{2} \] \[ C = 4\sqrt{2} \]