Cho M là tập con của S = {1; 2; 3;...; 869} có tính chất hiệu hai số bất kỳ của M không là 5 hoặc 8. Hỏi M có nhiều nhất bao nhiêu phần tử ?

Ta chia S thành các nhóm như sau: A = {1, 6, 11, 16,..., 861} B = {2, 7, 12, 17,..., 862} C = {3, 8, 13, 18,..., 863} D = {4, 9, 14, 19,..., 864} E = {5, 10, 15, 20,..., 865} F = {866, 867, 868, 869} Nhận thấy rằng nếu lấy 2 số thuộc cùng một nhóm thì hiệu của chúng sẽ là 5k (k là số tự nhiên). Từ đây ta suy ra rằng trong 2 nhóm A và C (hoặc B và D) không thể lấy 2 số nào thuộc cùng một nhóm. Mặt khác, nếu lấy 2 số thuộc 2 nhóm A và C (hoặc B và D) thì hiệu của chúng sẽ là 5k ± 1 (hoặc 5k ± 2). Do đó, để đảm bảo hiệu của 2 số bất kỳ thuộc M không là 5 hoặc 8, ta chỉ có thể chọn tối đa 1 số từ mỗi cặp nhóm (A, C) và (B, D). Như vậy, số lượng phần tử lớn nhất của M là: - Từ nhóm A: 173 phần tử - Từ nhóm B: 173 phần tử - Từ nhóm E: 173 phần tử - Từ nhóm F: 4 phần tử Tổng cộng: 173 + 173 + 173 + 4 = 523 phần tử. Đáp số: 523 phần tử.