Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 7: Để chứng minh rằng \( BD = CE \), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và hình chiếu vuông góc. 1. Xét tam giác \( \triangle ABC \): - Ta có \( AB = AC \) do đó tam giác \( \triangle ABC \) là tam giác cân tại A. 2. Xét điểm M: - M là trung điểm của BC, do đó \( MB = MC \). 3. Xét các hình chiếu: - D là hình chiếu vuông góc của M trên AB, nghĩa là \( MD \perp AB \). - E là hình chiếu vuông góc của M trên AC, nghĩa là \( ME \perp AC \). 4. Xét các tam giác vuông: - Xét tam giác vuông \( \triangle MBD \) và tam giác vuông \( \triangle MCE \). 5. Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau: - Trong hai tam giác vuông \( \triangle MBD \) và \( \triangle MCE \), ta có: - \( MB = MC \) (vì M là trung điểm của BC). - \( \angle MBD = \angle MCE = 90^\circ \) (do D và E là hình chiếu vuông góc). - \( \angle BMD = \angle CME \) (vì tam giác \( \triangle ABC \) cân tại A, nên \( \angle BAM = \angle CAM \)). 6. Kết luận: - Do đó, hai tam giác vuông \( \triangle MBD \) và \( \triangle MCE \) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c). - Suy ra \( BD = CE \). Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( BD = CE \). Bài 8: Để chứng minh rằng \(\Delta BAM = \Delta CAN\), ta cần chứng minh rằng hai tam giác này bằng nhau theo một trong các trường hợp bằng nhau của tam giác. Bước 1: Xét các yếu tố chung của hai tam giác 1. Góc vuông: Do \(BM \perp d\) và \(CN \perp d\), nên \(\angle BMA = \angle CNA = 90^\circ\). 2. Cạnh chung: Cạnh \(AB = AC\) do tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\). Bước 2: Chứng minh hai tam giác bằng nhau Xét hai tam giác \(\Delta BAM\) và \(\Delta CAN\): - \(\angle BMA = \angle CNA = 90^\circ\) (cùng vuông góc với đường thẳng \(d\)). - \(AB = AC\) (cạnh chung của tam giác vuông cân \(ABC\)). - \(\angle BAM = \angle CAN\) (vì \(d\) là đường thẳng qua \(A\) và \(BM\), \(CN\) vuông góc với \(d\), nên hai góc này là góc đối đỉnh). Vậy, theo trường hợp góc - cạnh - góc (G-C-G), ta có \(\Delta BAM = \Delta CAN\). Kết luận: \(\Delta BAM\) và \(\Delta CAN\) bằng nhau. Bài 9: Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh \(MH = MK\): 1. Xét tam giác \(ABM\) và tam giác \(ACM\): - Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(MB = MC\). - \(AM\) là tia phân giác của góc \(A\), do đó \(\widehat{BAM} = \widehat{CAM}\). 2. Xét hai tam giác vuông \(MHB\) và \(MKC\): - \(MH \perp AB\) nên \(\widehat{MHB} = 90^\circ\). - \(MK \perp AC\) nên \(\widehat{MKC} = 90^\circ\). 3. Chứng minh hai tam giác vuông \(MHB\) và \(MKC\) bằng nhau: - Cạnh \(MB = MC\) (do \(M\) là trung điểm của \(BC\)). - Góc \(\widehat{BAM} = \widehat{CAM}\) (do \(AM\) là tia phân giác của góc \(A\)). - Góc \(\widehat{MHB} = \widehat{MKC} = 90^\circ\). Từ các điều kiện trên, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c) của tam giác vuông, ta có tam giác \(MHB\) bằng tam giác \(MKC\). 4. Kết luận: - Vì hai tam giác \(MHB\) và \(MKC\) bằng nhau, nên \(MH = MK\). b) Chứng minh \(\widehat{BMH} = \widehat{CMK}\): 1. Từ phần a), ta đã có tam giác \(MHB\) bằng tam giác \(MKC\): - Do đó, các góc tương ứng của hai tam giác này cũng bằng nhau. 2. Kết luận: - \(\widehat{BMH} = \widehat{CMK}\) vì đây là các góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau \(MHB\) và \(MKC\). Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.