giải chính xác những bài tập này

Bài 4: Để giải tam giác vuông ABC tại A, chúng ta cần tìm các cạnh và góc còn lại của tam giác dựa trên các thông tin đã cho. a) Với \( b = 5,4 \, \text{cm} \) và \( C = 30^\circ \) 1. Tìm cạnh \( c \): Trong tam giác vuông, ta có: \[ \tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b} \] Với \( C = 30^\circ \), ta có \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Do đó: \[ \frac{c}{5,4} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ c = \frac{5,4}{\sqrt{3}} \approx 3,12 \, \text{cm} \] 2. Tìm cạnh \( a \): Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông: \[ a^2 = b^2 + c^2 \] \[ a^2 = 5,4^2 + \left(\frac{5,4}{\sqrt{3}}\right)^2 \] \[ a^2 = 29,16 + \frac{29,16}{3} \] \[ a^2 = 29,16 + 9,72 = 38,88 \] \[ a = \sqrt{38,88} \approx 6,24 \, \text{cm} \] 3. Tìm góc \( B \): Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên: \[ B = 90^\circ - C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] b) Với \( c = 10 \, \text{cm} \) và \( C = 45^\circ \) 1. Tìm cạnh \( b \): Trong tam giác vuông, ta có: \[ \tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b} \] Với \( C = 45^\circ \), ta có \( \tan 45^\circ = 1 \). Do đó: \[ \frac{c}{b} = 1 \Rightarrow c = b \] \[ b = 10 \, \text{cm} \] 2. Tìm cạnh \( a \): Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông: \[ a^2 = b^2 + c^2 \] \[ a^2 = 10^2 + 10^2 = 200 \] \[ a = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14,14 \, \text{cm} \] 3. Tìm góc \( B \): Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên: \[ B = 90^\circ - C = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \] Kết luận: - Trường hợp a: \( a \approx 6,24 \, \text{cm}, c \approx 3,12 \, \text{cm}, B = 60^\circ \). - Trường hợp b: \( a \approx 14,14 \, \text{cm}, b = 10 \, \text{cm}, B = 45^\circ \). Bài 5: Để giải tam giác vuông ABC tại A, chúng ta cần tìm các cạnh còn lại và các góc của tam giác. a) Với $a = 15$ cm, $b = 10$ cm 1. Tìm cạnh $c$: Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ c^2 = 15^2 + 10^2 = 225 + 100 = 325 \] \[ c = \sqrt{325} = \sqrt{25 \times 13} = 5\sqrt{13} \text{ cm} \] 2. Tìm góc $\angle ABC$ và $\angle ACB$: - Góc $\angle ABC$: \[ \sin \angle ABC = \frac{b}{c} = \frac{10}{5\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} \] Sử dụng máy tính để tìm $\angle ABC$. - Góc $\angle ACB$: \[ \cos \angle ACB = \frac{b}{a} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \] Sử dụng máy tính để tìm $\angle ACB$. b) Với $b = 12$ cm, $c = 7$ cm 1. Tìm cạnh $a$: Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông: \[ a^2 = c^2 - b^2 \] \[ a^2 = 7^2 - 12^2 = 49 - 144 = -95 \] Tuy nhiên, điều này không hợp lý vì $a^2$ không thể âm. Điều này cho thấy không tồn tại tam giác vuông với các cạnh $b = 12$ cm và $c = 7$ cm. Do đó, không thể giải tam giác trong trường hợp này. Kết luận: - Trường hợp a) Tam giác có thể giải được với $a = 15$ cm, $b = 10$ cm, $c = 5\sqrt{13}$ cm. - Trường hợp b) Không tồn tại tam giác vuông với $b = 12$ cm và $c = 7$ cm. Bài 6: Để tính diện tích của tam giác \( \Delta MNP \), ta có thể sử dụng công thức diện tích tam giác khi biết đường cao và cạnh đáy tương ứng. Công thức này là: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{cạnh đáy} \times \text{đường cao} \] Trước tiên, ta cần xác định cạnh đáy tương ứng với đường cao \( MI \). Vì \( MI \) là đường cao, nên nó vuông góc với cạnh \( NP \). Do đó, cạnh đáy tương ứng là \( NP \). Để tìm độ dài cạnh \( NP \), ta cần sử dụng định lý tổng các góc trong tam giác. Tổng các góc trong tam giác là \( 180^\circ \). Do đó, góc \( M \) có thể được tính như sau: \[ M = 180^\circ - N - P = 180^\circ - 70^\circ - 38^\circ = 72^\circ \] Bây giờ, ta có thể sử dụng định lý sin trong tam giác để tìm độ dài cạnh \( NP \). Định lý sin cho biết: \[ \frac{NP}{\sin M} = \frac{MI}{\sin P} \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ \frac{NP}{\sin 72^\circ} = \frac{8}{\sin 38^\circ} \] Tính \( \sin 72^\circ \) và \( \sin 38^\circ \) bằng máy tính: - \( \sin 72^\circ \approx 0.9511 \) - \( \sin 38^\circ \approx 0.6157 \) Thay vào phương trình: \[ \frac{NP}{0.9511} = \frac{8}{0.6157} \] Giải phương trình để tìm \( NP \): \[ NP = \frac{8 \times 0.9511}{0.6157} \] \[ NP \approx \frac{7.6088}{0.6157} \] \[ NP \approx 12.36 \, \text{cm} \] Bây giờ, ta có thể tính diện tích tam giác \( \Delta MNP \): \[ S = \frac{1}{2} \times NP \times MI \] \[ S = \frac{1}{2} \times 12.36 \times 8 \] \[ S = \frac{1}{2} \times 98.88 \] \[ S = 49.44 \, \text{cm}^2 \] Vậy, diện tích của tam giác \( \Delta MNP \) là \( 49.44 \, \text{cm}^2 \). Bài 7: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các tính chất của tam giác vuông và định nghĩa của tỉ số lượng giác. 1. Tính cạnh AC: Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, ta có: \[ \tan \alpha = \frac{\text{đối}}{\text{kề}} = \frac{AB}{AC} \] Theo đề bài, \(\tan \alpha = \frac{5}{12}\) và \(AB = 30 \, \text{cm}\). Do đó: \[ \frac{30}{AC} = \frac{5}{12} \] Giải phương trình trên để tìm \(AC\): \[ 30 \times 12 = 5 \times AC \] \[ 360 = 5 \times AC \] \[ AC = \frac{360}{5} = 72 \, \text{cm} \] 2. Tính cạnh BC: Trong tam giác vuông ABC, ta áp dụng định lý Pythagore: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ BC^2 = 30^2 + 72^2 \] \[ BC^2 = 900 + 5184 \] \[ BC^2 = 6084 \] Lấy căn bậc hai hai vế để tìm \(BC\): \[ BC = \sqrt{6084} = 78 \, \text{cm} \] Vậy, độ dài các cạnh của tam giác ABC là \(AC = 72 \, \text{cm}\) và \(BC = 78 \, \text{cm}\).