Cho các số thực không âm x; y; z thỏa mãn x² + y² + z² = 3. a) CM xy² + yz² + zx² ≤ 2 + xyz. b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x}{2+y}+\frac{y}{2+z}+\frac{z}{2+x}$.

a) Ta có: \(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\leq xy^{2}+y.z^{2}+z.x^{2}+xyz\) Ta sẽ chứng minh \(xy^{2}+y.z^{2}+z.x^{2}+xyz\leq 2+xyz\) Hay \(xy^{2}+y.z^{2}+z.x^{2}\leq 2\) Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: \(xy^{2}+y.z^{2}+z.x^{2}=y(xy)+z(yz)+x(zx)\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}+\frac{(y+z)^{2}}{4}+\frac{(z+x)^{2}}{4}\) \(=\frac{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(xy+yz+zx)}{4}=\frac{3+(xy+yz+zx)}{2}\) Do đó ta cần chứng minh \(\frac{3+(xy+yz+zx)}{2}\leq 2\) Hay \(xy+yz+zx\leq 1\) Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: \(xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}\) Mà \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=3\) nên \(x+y+z\leq \sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}=3\) Do đó \(xy+yz+zx\leq \frac{9}{3}=3\) Vậy \(xy^{2}+y.z^{2}+z.x^{2}\leq 2\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\) b) Ta có: \(P=\frac{x}{2+y}+\frac{y}{2+z}+\frac{z}{2+x}\) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: \(\frac{x}{2+y}+\frac{y}{2+z}+\frac{z}{2+x}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(x+y+z)+xy+yz+zx}\) Mà \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=3\) nên \(x+y+z\leq \sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}=3\) Do đó \(P\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(x+y+z)+xy+yz+zx}\geq \frac{9}{6+3}=1\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\) Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, đạt được khi \(x=y=z=1\) Ta có: \(P=\frac{x}{2+y}+\frac{y}{2+z}+\frac{z}{2+x}\) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: \(\frac{x}{2+y}+\frac{y}{2+z}+\frac{z}{2+x}\leq \frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}=\frac{x+y+z}{2}\) Mà \(x+y+z\leq 3\) nên \(P\leq \frac{3}{2}\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\) Vậy giá trị lớn nhất của P là \(\frac{3}{2}\), đạt được khi \(x=y=z=1\) Đáp số: Giá trị lớn nhất của P là \(\frac{3}{2}\), đạt được khi \(x=y=z=1\). Giá trị nhỏ nhất của P là 1, đạt được khi \(x=y=z=1\).