Giúp mình với!

Để trục căn thức ở mẫu của các biểu thức, chúng ta sẽ nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của mẫu số. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập: Bài tập mẫu 1: a. $\frac{2}{\sqrt{3}}$ - Nhân tử số và mẫu số với $\sqrt{3}$: \[ \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \] b. $\frac{3\sqrt{2}+1}{3\sqrt{2}}$ - Nhân tử số và mẫu số với $\sqrt{2}$: \[ \frac{3\sqrt{2}+1}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{(3\sqrt{2}+1)\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{3 \cdot 2 + \sqrt{2}}{6} = \frac{6 + \sqrt{2}}{6} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{6} \] c. $\sqrt{\frac{1}{50}}$ - Viết lại dưới dạng phân số: \[ \sqrt{\frac{1}{50}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} \] - Nhân tử số và mẫu số với $\sqrt{2}$: \[ \frac{1}{5\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{10} \] d. $\sqrt{3\frac{1}{12}}$ - Viết lại dưới dạng phân số: \[ \sqrt{3\frac{1}{12}} = \sqrt{\frac{37}{12}} \] - Nhân tử số và mẫu số với $\sqrt{12}$: \[ \sqrt{\frac{37}{12}} \cdot \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{37 \cdot 12}}{12} = \frac{\sqrt{444}}{12} = \frac{2\sqrt{111}}{12} = \frac{\sqrt{111}}{6} \] Bài tập mẫu 2: a. $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ - Nhân tử số và mẫu số với $\sqrt{2}+1$: \[ \frac{1}{\sqrt{2}-1} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1 \] b. $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}$ - Nhân tử số và mẫu số với $\sqrt{3}+2$: \[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2} \cdot \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)} = \frac{3+2\sqrt{3}}{3-4} = \frac{3+2\sqrt{3}}{-1} = -3-2\sqrt{3} \] c. $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ - Nhân tử số và mẫu số với $\sqrt{3}+1$: \[ \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3} \] d. $\frac{3}{6-2\sqrt{3}}$ - Nhân tử số và mẫu số với $6+2\sqrt{3}$: \[ \frac{3}{6-2\sqrt{3}} \cdot \frac{6+2\sqrt{3}}{6+2\sqrt{3}} = \frac{3(6+2\sqrt{3})}{(6-2\sqrt{3})(6+2\sqrt{3})} = \frac{18+6\sqrt{3}}{36-12} = \frac{18+6\sqrt{3}}{24} = \frac{3+ \sqrt{3}}{4} \] Bài tập mẫu 3: a. $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ - Nhân tử số và mẫu số với $\sqrt{3}-\sqrt{2}$: \[ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{3-2} = \sqrt{18}-\sqrt{12} = 3\sqrt{2}-2\sqrt{3} \] b. $\frac{2\sqrt{2}+3}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ - Nhân tử số và mẫu số với $\sqrt{3}+\sqrt{2}$: \[ \frac{2\sqrt{2}+3}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{2}+3)(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{6}+2\sqrt{4}+3\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{3-2} = 2\sqrt{6}+4+3\sqrt{3}+3\sqrt{2} \] c. $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ - Nhân tử số và mẫu số với $\sqrt{5}+\sqrt{3}$: \[ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{5+2\sqrt{15}+3}{5-3} = \frac{8+2\sqrt{15}}{2} = 4+\sqrt{15} \] d. $\frac{1}{2\sqrt{5}+5\sqrt{2}}$ - Nhân tử số và mẫu số với $2\sqrt{5}-5\sqrt{2}$: \[ \frac{1}{2\sqrt{5}+5\sqrt{2}} \cdot \frac{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{(2\sqrt{5}+5\sqrt{2})(2\sqrt{5}-5\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{20-50} = \frac{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{-30} = \frac{5\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{30} \] Bài tập mẫu 4: a. $A = \frac{1}{4+2\sqrt{2}} + \frac{1}{4-2\sqrt{2}}$ - Nhân tử số và mẫu số của từng phân số với liên hợp của mẫu số: \[ \frac{1}{4+2\sqrt{2}} \cdot \frac{4-2\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}} + \frac{1}{4-2\sqrt{2}} \cdot \frac{4+2\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}} = \frac{4-2\sqrt{2}}{16-8} + \frac{4+2\sqrt{2}}{16-8} = \frac{4-2\sqrt{2}+4+2\sqrt{2}}{8} = \frac{8}{8} = 1 \] b. $B = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ - Nhân tử số và mẫu số của từng phân số với liên hợp của mẫu số: \[ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{5-3} - \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{5-3} = \frac{5+2\sqrt{15}+3}{2} - \frac{5-2\sqrt{15}+3}{2} = \frac{8+2\sqrt{15}}{2} - \frac{8-2\sqrt{15}}{2} = 4+\sqrt{15} - (4-\sqrt{15}) = 2\sqrt{15} \] c. $C = \left(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + 1\right) : \left(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\right)$ - Nhân tử số và mẫu số của từng phân số với liên hợp của mẫu số: \[ \left(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} + 1\right) : \left(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\right) = \left(\frac{5-2\sqrt{15}+3}{5-3} + 1\right) : \left(\frac{5-2\sqrt{15}+3}{5-3}\right) = \left(\frac{8-2\sqrt{15}}{2} + 1\right) : \left(\frac{8-2\sqrt{15}}{2}\right) = \left(4-\sqrt{15} + 1\right) : \left(4-\sqrt{15}\right) = \left(5-\sqrt{15}\right) : \left(4-\sqrt{15}\right) \] d. $D = \sqrt{(1-\sqrt{3})^2} + \frac{1}{\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}}$ - Rút gọn từng phần: \[ \sqrt{(1-\sqrt{3})^2} = |1-\sqrt{3}| = \sqrt{3}-1 \] \[ \frac{1}{\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}} = \frac{1}{|1+\sqrt{3}|} = \frac{1}{1+\sqrt{3}} \] - Nhân tử số và mẫu số với liên hợp của mẫu số: \[ \frac{1}{1+\sqrt{3}} \cdot \frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \frac{1-\sqrt{3}}{1-3} = \frac{1-\sqrt{3}}{-2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \] - Kết hợp các phần: \[ D = \sqrt{3}-1 + \frac{\sqrt{3}-1}{2} = \frac{2(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}-1)}{2} = \frac{3\sqrt{3}-3}{2} = \frac{3(\sqrt{3}-1)}{2} \] Bài tập mẫu 5: a. $A = \frac{3}{\sqrt{7}-2} + \frac{-3}{\sqrt{7}+2}$ - Nhân tử số và mẫu số của từng phân số với liên hợp của mẫu số: \[ \frac{3}{\sqrt{7}-2} \cdot \frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}+2} + \frac{-3}{\sqrt{7}+2} \cdot \frac{\sqrt{7}-2}{\sqrt{7}-2} = \frac{3(\sqrt{7}+2)}{7-4} + \frac{-3(\sqrt{7}-2)}{7-4} = \frac{3\sqrt{7}+6}{3} + \frac{-3\sqrt{7}+6}{3} = \frac{3\sqrt{7}+6-3\sqrt{7}+6}{3} = \frac{12}{3} = 4 \] b. $B = \frac{1}{5+2\sqrt{3}} - \frac{1}{5-2\sqrt{3}}$ - Nhân tử số và mẫu số của từng phân số với liên hợp của mẫu số: \[ \frac{1}{5+2\sqrt{3}} \cdot \frac{5-2\sqrt{3}}{5-2\sqrt{3}} - \frac{1}{5-2\sqrt{3}} \cdot \frac{5+2\sqrt{3}}{5+2\sqrt{3}} = \frac{5-2\sqrt{3}}{25-12} - \frac{5+2\sqrt{3}}{25-12} = \frac{5-2\sqrt{3}-(5+2\sqrt{3})}{13} = \frac{5-2\sqrt{3}-5-2\sqrt{3}}{13} = \frac{-4\sqrt{3}}{13} \] c. $C = \frac{5\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} - \frac{9}{\sqrt{10}+1}$ - Nhân tử số và mẫu số của từng phân số với liên hợp của mẫu số: \[ \frac{5\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} - \frac{9}{\sqrt{10}+1} \cdot \frac{\sqrt{10}-1}{\sqrt{10}-1} = \frac{(5\sqrt{2}-2\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} - \frac{9(\sqrt{10}-1)}{10-1} = \frac{5\sqrt{10}+5\sqrt{4}-2\sqrt{25}-2\sqrt{10}}{3} - \frac{9\sqrt{10}-9}{9} = \frac{5\sqrt{10}+10-10-2\sqrt{10}}{3} - \sqrt{10}+1 = \frac{3\sqrt{10}}{3} - \sqrt{10}+1 = \sqrt{10} - \sqrt{10}+1 = 1 \] d. $D = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} - \sqrt{6}$ - Nhân tử số và mẫu số của từng phân số với liên hợp của mẫu số: \[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} - \sqrt{6} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{2-3} - \sqrt{6} = \frac{\sqrt{6}-3}{-1} - \sqrt{6} = -\sqrt{6}+3 - \sqrt{6} = 3-2\sqrt{6} \] Bài tập mẫu 6: a. $\frac{1}{3\sqrt{5}-7}$ - Nhân tử số và mẫu số với liên hợp của mẫu số: \[ \frac{1}{3\sqrt{5}-7} \cdot \frac{3\sqrt{5}+7}{3\sqrt{5}+7} = \frac{3\sqrt{5}+7}{45-49} = \frac{3\sqrt{5}+7}{-4} = -\frac{3\sqrt{5}+7}{4} \] b. $\sqrt{(2-\sqrt{7})^2} - \sqrt{\frac{2}{8-3\sqrt{7}}}$ - Rút gọn từng phần: \[ \sqrt{(2-\sqrt{7})^2} = |2-\sqrt{7}| = \sqrt{7}-2 \] \[ \sqrt{\frac{2}{8-3\sqrt{7}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8-3\sqrt{7}}} \] - Nhân tử số và mẫu số với liên hợp của mẫu số: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8-3\sqrt{7}}} \cdot \frac{\sqrt{8+3\sqrt{7}}}{\sqrt{8+3\sqrt{7}}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{8+3\sqrt{7}}}{\sqrt{(8-3\sqrt{7})(8+3\sqrt{7})}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{8+3\sqrt{7}}}{\sqrt{64-63}} = \sqrt{2}\sqrt{8+3\sqrt{7}} \] - Kết hợp các phần: \[ \sqrt{7}-2 - \sqrt{2}\sqrt{8+3\sqrt{7}} \] c. $B = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \sqrt{24}$ - Nhân tử số và mẫu số của từng phân số với liên hợp của mẫu số: \[ \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \sqrt{24} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2} + \sqrt{24} = \frac{6-2\sqrt{6}}{1} + \sqrt{24} = 6-2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = 6 \] d. $B = \frac{\sqrt{8-2\sqrt{12}}}{\sqrt{3}-1}$ - Rút gọn từng phần: \[ \sqrt{8-2\sqrt{12}} = \sqrt{8-4\sqrt{3}} = \sqrt{4(2-\sqrt{3})} = 2\sqrt{2-\sqrt{3}} \] - Nhân tử số và mẫu số của từng phân số với liên hợp của mẫu số: \[ \frac{2\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{2\sqrt{2-\sqrt{3}}(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2\sqrt{2-\sqrt{3}}(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{2-\sqrt{3}}(\sqrt{3}+1) \]