Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y - 1 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 3x² + y².

Từ điều kiện 3x + y - 1 = 0 ta có y = 1 - 3x. Thay vào B ta có: B = 3x² + (1 - 3x)² = 3x² + 1 - 6x + 9x² = 12x² - 6x + 1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 12x² và $\frac{1}{3}$, ta có: 12x² + $\frac{1}{3}$ ≥ 2$\sqrt{12x² \cdot \frac{1}{3}}$ = 2$\sqrt{4x²}$ = 4|x|. Do đó, B = 12x² - 6x + 1 = 12x² + $\frac{1}{3}$ - 6x + $\frac{2}{3}$ ≥ 4|x| - 6x + $\frac{2}{3}$. Ta xét hai trường hợp: - Nếu x ≥ 0 thì |x| = x, do đó B ≥ 4x - 6x + $\frac{2}{3}$ = -2x + $\frac{2}{3}$. Biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 0, lúc đó B = $\frac{2}{3}$. - Nếu x < 0 thì |x| = -x, do đó B ≥ -4x - 6x + $\frac{2}{3}$ = -10x + $\frac{2}{3}$. Biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 0, lúc đó B = $\frac{2}{3}$. Vậy giá trị nhỏ nhất của B là $\frac{2}{3}$, đạt được khi x = 0.