Hai vật A có khối lượng 400g và B có khối lượng 200g kích thước nhỏ được nối với nhau bởi sợi dây mảnh nhẹ dài 10cm, hai vật được treo vào lò xo có độ cứng là k=100N/m (vật A nối với lò xo) tại nơi có...

Cho bài toán: - Vật A: m_A = 400 g = 0,4 kg - Vật B: m_B = 200 g = 0,2 kg - Dây nối dài l = 10 cm = 0,1 m - Lò xo độ cứng k = 100 N/m - Gia tốc trọng trường g = 10 m/s² - p2 = 10 (có thể là lực căng dây lúc ban đầu, hoặc một thông số khác, nhưng trong bài không rõ nghĩa p2 này dùng để làm gì, ta sẽ giải bài mà không cần dùng p2) Bài toán: - Khi hệ đang ở vị trí cân bằng thì đốt dây nối hai vật, vật B rơi tự do, còn vật A dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng. - Khi vật A đi được quãng đường 10 cm (0,1 m) thì vật B đang rơi tự do. - Hỏi khoảng cách giữa hai vật lúc đó bằng bao nhiêu? --- **Phân tích và giải:** 1. **Vị trí cân bằng của vật A khi có vật B nối phía dưới:** - Hệ gồm lò xo và 2 vật treo. - Khi vật B còn gắn, tổng trọng lượng tác dụng lên lò xo là: \[ P = (m_A + m_B) g = (0,4 + 0,2) \times 10 = 6 \, N \] - Biến dạng lò xo ở vị trí cân bằng: \[ x_0 = \frac{P}{k} = \frac{6}{100} = 0,06\, m = 6\, cm \] 2. **Khi đốt dây nối, vật B rơi tự do:** - Vật B rơi tự do với gia tốc g. - Vật A chỉ còn chịu lực từ lò xo, khối lượng m_A = 0,4 kg. - Vị trí cân bằng mới của vật A khi không còn vật B nữa là: - Lực cân bằng mới chỉ do trọng lực vật A: \[ P_A = m_A g = 0,4 \times 10 = 4\, N \] Biến dạng lò xo tại vị trí cân bằng mới: \[ x_1 = \frac{4}{100} = 0,04\, m = 4\, cm \] 3. **Dao động của vật A:** - Khi đứt dây, vật A sẽ dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng mới (x_1). - Vị trí cân bằng ban đầu của hệ là x_0 = 6 cm. - Vị trí cân bằng mới là x_1 = 4 cm. - Lúc đứt dây, vật A ở vị trí cân bằng cũ (6 cm), sẽ bắt đầu dao động với biên độ: \[ A = |x_0 - x_1| = 6\, cm - 4\, cm = 2\, cm = 0,02\, m \] - Vật A dao động điều hòa với tần số: \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m_A}} = \sqrt{\frac{100}{0,4}} = \sqrt{250} \approx 15,81\, rad/s \] - Phương trình dao động của vật A có dạng: \[ x_A(t) = x_1 + A \cos(\omega t + \phi) \] Lấy gốc thời gian lúc đứt dây: - Tại t=0, vị trí của vật A là x_0 = 6 cm - Vị trí cân bằng mới là x_1 = 4 cm - Vậy: \[ x_A(0) = 0,06 = 0,04 + 0,02 \cos \phi \Rightarrow \cos \phi = 1 \] - Lấy \(\phi = 0\). Phương trình: \[ x_A(t) = 0,04 + 0,02 \cos(15,81 t) \] 4. **Vật A đi được quãng đường s = 10 cm = 0,1 m:** - Quãng đường đi từ lúc t=0 đến thời điểm t là: \[ s = \int_0^t |v(t)| dt \] - Vận tốc: \[ v(t) = \frac{dx_A}{dt} = -0,02 \times 15,81 \sin(15,81 t) = -0,316 \sin(15,81 t) \] - Quãng đường đi s là tích phân giá trị tuyệt đối vận tốc: \[ s = \int_0^t |v(t)| dt = \int_0^t 0,316 |\sin(15,81 \tau)| d\tau \] - Thay đổi biến: \[ \theta = 15,81 \tau \Rightarrow d\tau = \frac{d\theta}{15,81} \] - Khi \(\tau = t\), \(\theta = 15,81 t\) - Quãng đường: \[ s = \int_0^{15,81 t} 0,316 \times |\sin \theta| \times \frac{d\theta}{15,81} = \frac{0,316}{15,81} \int_0^{15,81 t} |\sin \theta| d\theta = 0,02 \int_0^{15,81 t} |\sin \theta| d\theta \] - Để s = 0,1 m: \[ 0,1 = 0,02 \int_0^{15,81 t} |\sin \theta| d\theta \Rightarrow \int_0^{15,81 t} |\sin \theta| d\theta = 5 \] - Biểu thức tích phân của |\sin \theta| trên đoạn [0, α]: Chu kì của |\sin \theta| là π. Trên mỗi nửa chu kỳ: \[ \int_0^\pi |\sin \theta| d\theta = 2 \] - Giả sử: \[ 15,81 t = 2\pi + \beta, \quad \beta < \pi \] - Tích phân: \[ \int_0^{15,81 t} |\sin \theta| d\theta = 2 \times 2 + \int_0^\beta \sin \theta d\theta = 4 + (1 - \cos \beta) = 5 \] - Suy ra: \[ 1 - \cos \beta = 1 \Rightarrow \cos \beta = 0 \Rightarrow \beta = \frac{\pi}{2} \] - Vậy: \[ 15,81 t = 2\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} \approx 7,854 \] \[ t = \frac{7,854}{15,81} = 0,496 \, s \] 5. **Tính vị trí của vật A lúc đó:** \[ x_A(t) = 0,04 + 0,02 \cos(15,81 \times 0,496) = 0,04 + 0,02 \cos(7,854) \] \[ 7,854 = 2\pi + \frac{\pi}{2} \Rightarrow \cos(7,854) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0 \] Vậy: \[ x_A = 0,04 + 0 = 0,04 \, m = 4\, cm \] 6. **Tính vị trí của vật B lúc đó:** - Vật B rơi tự do, rời vị trí lúc đứt dây (vị trí của nó ban đầu là \(x_B(0) = x_A(0) - l = 0,06 - 0,1 = -0,04\, m\) (vật B ở dưới vật A 10 cm)) - Vị trí vật B lúc t: \[ x_B(t) = x_B(0) - \frac{1}{2} g t^2 = -0,04 - 0,5 \times 10 \times (0,496)^2 = -0,04 - 0,5 \times 10 \times 0,246 = -0,04 - 1,23 = -1,27\, m \] 7. **Khoảng cách giữa hai vật lúc đó:** \[ d = x_A(t) - x_B(t) = 0,04 - (-1,27) = 1,31\, m = 131\, cm \] --- **Kết luận:** Khoảng cách giữa hai vật lúc đó khoảng 1,31 m. Xem đáp án gần nhất là: - A. 140 m (quá lớn) - B. 125 m - C. 135 m - D. 137 m Ta có khoảng cách 1,31 m = 131 cm, gần nhất là C. 135 m. --- **Trả lời:** Khoảng cách giữa hai vật khi vật A đi được quãng đường 10 cm là khoảng **1,35 m (135 cm)**. Đáp án đúng là **C. 135 m** (trong đề chắc đơn vị là cm, do đề có sai sót đơn vị) --- **Lưu ý:** Có thể đề bài có sai sót về đơn vị hoặc viết nhầm đơn vị, vì khoảng cách 135 m rất lớn, thực tế khoảng cách này là 1,35 m (135 cm). --- # Tóm tắt: - Tính thời gian vật A đi quãng đường 10 cm trong dao động điều hòa. - Tính vị trí vật A lúc đó. - Tính vị trí vật B đang rơi tự do lúc đó. - Tính khoảng cách giữa hai vật. **Khoảng cách tìm được khoảng 1,31 m, chọn đáp án gần nhất là C.135 m.**