Con lắc lò xo nằm ngang dao động với phương trình x = 4cos(2πt - π/2) (cm,s). Sau khi đi được quãng đường 7cm kể từ thời điểm t=0 thì vật có li độ :

Đề bài cho phương trình dao động của con lắc lò xo: \[ x = 4 \cos(2\pi t - \frac{\pi}{2}) \quad \text{(cm, s)} \] Với t tính bằng giây, x tính bằng cm. --- **Bước 1: Phân tích đề bài** - Con lắc dao động theo phương trình: \( x(t) = 4 \cos(2\pi t - \frac{\pi}{2}) \) - Tại thời điểm \( t=0 \), vật bắt đầu dao động. - Yêu cầu: Tìm li độ \( x \) tại thời điểm con lắc đã đi được quãng đường 7 cm kể từ \( t=0 \). --- **Bước 2: Tính quãng đường theo thời gian** Quãng đường con lắc đi được từ \( t=0 \) đến thời điểm \( t \) là tổng giá trị độ lớn của các đoạn dịch chuyển (tức tổng các đoạn đi qua, không quan tâm chiều). Ta cần tìm \( t \) sao cho quãng đường \( s(t) = 7 \, \text{cm} \). --- **Bước 3: Xác định thời gian vật đi được 7 cm** - Tại \( t=0 \): \[ x(0) = 4 \cos\left( 0 - \frac{\pi}{2} \right) = 4 \cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) = 4 \times 0 = 0 \, \text{cm} \] - Xét quãng đường tăng dần theo thời gian: Vật bắt đầu tại 0 cm. Dao động theo hàm cos, ta biết biên độ \( A = 4 \, \text{cm} \). Dao động bắt đầu ở vị trí 0 cm, theo chiều âm (do pha \(-\pi/2\) làm cos bắt đầu từ 0). Cách tính quãng đường: Từ \( t=0 \), vật đi từ 0 cm đến vị trí cực đại đầu tiên (biên độ 4 cm) qua hướng âm hay dương? Tính giá trị tại \( t \): \[ x(t) = 4 \cos(2\pi t - \pi/2) = 4 \sin(2\pi t) \] (Biến đổi: \(\cos(\theta - \pi/2) = \sin \theta\)) Vậy: \[ x(t) = 4 \sin(2\pi t) \] - Lúc đầu \( t=0 \), \( x=0 \). - \( x(t) \) tăng từ 0 đến 4 cm khi \( 2\pi t \) tăng từ 0 đến \(\pi/2\), tức là khi \( t = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \) giây. --- **Bước 4: Tính quãng đường tại thời điểm \( t \)** Từ 0 đến cực đại \( x=4 \), quãng đường đi được là 4 cm. Sau đó vật đi từ \( x=4 \) cm về \( x=0 \) cm, quãng đường đi thêm 4 cm nữa (tổng 8 cm). Ta cần tìm lúc quãng đường tổng là 7 cm. Quãng đường tăng như sau: - Từ 0 đến \( t_1 = \frac{1}{4} \, s \), vật đi được 4 cm (từ 0 đến biên độ dương 4 cm) - Từ \( t_1 \) trở đi, vật đi ngược lại về 0 cm, quãng đường tăng dần từ 4 cm đến 8 cm. Vậy quãng đường 7 cm sẽ nằm trong khoảng thời gian giữa \( t_1 \) và \( t_2 \) khi vật về 0. --- **Bước 5: Tính thời điểm khi vật đi được 7 cm** Trong khoảng từ \( t_1 = 0.25 \) s trở đi, vật đi từ 4 cm đến 0 cm, quãng đường tăng từ 4 cm đến 8 cm. Khi quãng đường đi được là 7 cm, vật đã đi thêm: \[ 7 - 4 = 3 \, \text{cm} \] Tức vật đã đi từ 4 cm về phía 0 cm một đoạn 3 cm, nghĩa là vật đang ở vị trí: \[ x = 4 - 3 = 1 \, \text{cm} \] --- **Bước 6: Tìm thời điểm \( t \) ứng với \( x=1 \, \text{cm} \)** \[ x(t) = 4 \sin(2\pi t) = 1 \Rightarrow \sin(2\pi t) = \frac{1}{4} \] Trong khoảng từ \( t = 0.25 \) s đến \( t=0.5 \) s, sin(2πt) giảm từ 1 về 0. Giải: \[ 2\pi t = \pi - \arcsin\left( \frac{1}{4} \right) \] Tính \(\arcsin(1/4)\): \[ \arcsin(0.25) \approx 0.2527 \, \text{rad} \] Thế vào: \[ 2\pi t = \pi - 0.2527 = 2.8889 \, \text{rad} \] \[ t = \frac{2.8889}{2\pi} \approx \frac{2.8889}{6.2832} = 0.46 \, \text{s} \] --- **Kết luận:** - Khi vật đi được quãng đường 7 cm từ thời điểm \( t=0 \), li độ vật là \( x = 1 \, \text{cm} \). - Thời điểm này là khoảng \( t = 0.46 \, \text{s} \). --- **Đáp số:** \[ \boxed{x = 1 \, \text{cm}} \]