Giúp mình với!

Câu 20: Để giải bài toán này, ta cần tính độ dài của vectơ \( |\overrightarrow{DM} - \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{CN}| \). Trước tiên, ta cần xác định các vectơ liên quan: 1. Vectơ \(\overrightarrow{DM}\): Gọi \( M \) là trung điểm của \( AD \), do đó: \[ \overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DD}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{DA} \] 2. Vectơ \(\overrightarrow{BA}\): Vectơ \(\overrightarrow{BA}\) là vectơ từ \( B \) đến \( A \), do đó: \[ \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \] 3. Vectơ \(\overrightarrow{CN}\): Gọi \( N \) là trung điểm của \( BC \), do đó: \[ \overrightarrow{CN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{CB} \] Bây giờ, ta tính tổng các vectơ: \[ \overrightarrow{DM} - \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{CN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DA} - (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) - \frac{1}{2} \overrightarrow{CB} \] Ta biết rằng: \[ \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}, \quad \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} \] Thay vào biểu thức trên: \[ \overrightarrow{DM} - \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{CN} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}) - (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) - \frac{1}{2} (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) \] Rút gọn biểu thức: \[ = \frac{1}{2} \overrightarrow{D} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{C} + \frac{1}{2} \overrightarrow{B} \] \[ = \frac{1}{2} \overrightarrow{D} - \frac{3}{2} \overrightarrow{A} + \frac{3}{2} \overrightarrow{B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{C} \] Do hình thang có hai đáy \( AB = 1 \) và \( CD = 2 \), ta có thể chọn hệ tọa độ sao cho: - \( A(0, 0) \) - \( B(1, 0) \) - \( C(0, h) \) - \( D(2, h) \) Khi đó: - \(\overrightarrow{D} = (2, h)\) - \(\overrightarrow{A} = (0, 0)\) - \(\overrightarrow{B} = (1, 0)\) - \(\overrightarrow{C} = (0, h)\) Thay vào biểu thức: \[ = \frac{1}{2}(2, h) - \frac{3}{2}(0, 0) + \frac{3}{2}(1, 0) - \frac{1}{2}(0, h) \] \[ = (1, \frac{h}{2}) + \left(\frac{3}{2}, 0\right) - (0, \frac{h}{2}) \] \[ = \left(1 + \frac{3}{2}, \frac{h}{2} - \frac{h}{2}\right) \] \[ = \left(\frac{5}{2}, 0\right) \] Do đó, độ dài của vectơ là: \[ |\overrightarrow{DM} - \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{CN}| = \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 0^2} = \frac{5}{2} \] Vậy, giá trị cần tìm là \(\frac{5}{2}\). Câu 21: Để giải bài toán này, ta cần tính độ dài của các vectơ và thực hiện phép trừ giữa các vectơ đã cho. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hình vuông ABCD. Giả sử hình vuông ABCD nằm trên mặt phẳng tọa độ với: - Điểm A có tọa độ \((0, 0)\), - Điểm B có tọa độ \((1, 0)\), - Điểm C có tọa độ \((1, 1)\), - Điểm D có tọa độ \((0, 1)\). Tâm O của hình vuông là trung điểm của đường chéo AC hoặc BD, do đó tọa độ của O là \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\). Bây giờ, ta tính các vectơ cần thiết: 1. Vectơ \(\overrightarrow{OA}\) có tọa độ là \((0 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{1}{2}) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)\). 2. Vectơ \(\overrightarrow{CB}\) có tọa độ là \((1 - 1, 0 - 1) = (0, -1)\). 3. Vectơ \(\overrightarrow{CD}\) có tọa độ là \((0 - 1, 1 - 1) = (-1, 0)\). 4. Vectơ \(\overrightarrow{DA}\) có tọa độ là \((0 - 0, 0 - 1) = (0, -1)\). Tiếp theo, ta thực hiện phép trừ các vectơ: - \(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{CB} = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right) - (0, -1) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\). - \(\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{DA} = (-1, 0) - (0, -1) = (-1, 1)\). Bây giờ, ta tính độ dài của các vectơ kết quả: - Độ dài của \(\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\) là \(\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). - Độ dài của \((-1, 1)\) là \(\sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\). Cuối cùng, ta tính tổng độ dài: \[ |\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{CB}| + |\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{DA}| = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}. \] Để làm tròn đến hàng phần mười, ta tính giá trị gần đúng: - \(\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707\), - \(\sqrt{2} \approx 1.414\). Do đó, tổng là: \[ 0.707 + 1.414 \approx 2.121. \] Làm tròn đến hàng phần mười, ta được kết quả là \(2.1\). Vậy, giá trị cần tìm là \(2.1\). Câu 22: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các yếu tố đã cho và điều kiện của bài toán: - Tam giác \(ABC\) với \(AB < AC\). - \(AD\) là phân giác của góc \(A\). - \(M\) là trung điểm của \(BC\). - Đường thẳng qua \(M\) song song với \(AD\) cắt \(AC\) tại \(E\) và tia \(BA\) tại \(F\). - \(AB = 6\) và \(4BD = 3BM\). 2. Tính toán và lập luận: - Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(BM = MC\). - Từ điều kiện \(4BD = 3BM\), ta có: \[ BD = \frac{3}{4}BM \] - Do \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có: \[ BM = MC = \frac{1}{2}BC \] - Thay vào phương trình \(BD = \frac{3}{4}BM\), ta có: \[ BD = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2}BC = \frac{3}{8}BC \] - Suy ra \(DC = BC - BD = BC - \frac{3}{8}BC = \frac{5}{8}BC\). 3. Sử dụng tính chất đường thẳng song song: - Vì \(EF \parallel AD\) và \(AD\) là phân giác của góc \(A\), theo định lý đường thẳng song song với phân giác, ta có: \[ \frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC} \] - Do \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có: \[ BE = EC \] - Suy ra: \[ \frac{AB}{AC} = 1 \Rightarrow AB = AC \] - Điều này mâu thuẫn với giả thiết \(AB < AC\). Do đó, ta cần xem xét lại các giả thiết hoặc cách lập luận. 4. Tính \(\overrightarrow{CM} - \overrightarrow{EM}\): - Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có: \[ \overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} \] - Do \(E\) nằm trên \(AC\) và \(EF \parallel AD\), ta có: \[ \overrightarrow{EM} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{M} \] - Vì \(E\) nằm trên đường thẳng \(AC\), ta có thể biểu diễn: \[ \overrightarrow{E} = t\overrightarrow{A} + (1-t)\overrightarrow{C} \] - Do đó: \[ \overrightarrow{EM} = t\overrightarrow{A} + (1-t)\overrightarrow{C} - \frac{1}{2}\overrightarrow{B} - \frac{1}{2}\overrightarrow{C} \] - Suy ra: \[ \overrightarrow{CM} - \overrightarrow{EM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} - (t\overrightarrow{A} + (1-t)\overrightarrow{C} - \frac{1}{2}\overrightarrow{B} - \frac{1}{2}\overrightarrow{C}) \] - Kết quả cuối cùng phụ thuộc vào giá trị cụ thể của \(t\), nhưng do không có thông tin thêm, ta không thể tính chính xác giá trị này. Vì vậy, bài toán này có thể có một số mâu thuẫn hoặc thiếu thông tin để tính toán chính xác. Tuy nhiên, các bước lập luận trên đã chỉ ra cách tiếp cận để giải quyết bài toán.