giup minh voi aa

Bài 2: Để giải bài toán này, ta cần tìm diện tích nhỏ nhất của phần bìa dùng để làm chiếc hộp không nắp dạng hình hộp chữ nhật. Gọi: - \( x \) là chiều rộng của đáy (đơn vị: dm, điều kiện: \( x > 0 \)). - \( y \) là chiều dài của đáy (đơn vị: dm, điều kiện: \( y > 0 \)). - \( h \) là chiều cao của hộp (đơn vị: dm, điều kiện: \( h > 0 \)). Theo đề bài, tỉ số giữa chiều cao \( h \) và chiều dài đáy \( y \) là 4, do đó ta có: \[ h = 4y \] Thể tích của hộp là 9 dm³, do đó: \[ x \cdot y \cdot h = 9 \] Thay \( h = 4y \) vào phương trình thể tích, ta được: \[ x \cdot y \cdot 4y = 9 \] \[ 4xy^2 = 9 \] \[ xy^2 = \frac{9}{4} \] Diện tích phần bìa của hộp (không có nắp) là: \[ S = xy + 2(xh + yh) \] Thay \( h = 4y \) vào biểu thức diện tích, ta có: \[ S = xy + 2(x \cdot 4y + y \cdot 4y) \] \[ S = xy + 8xy + 8y^2 \] \[ S = 9xy + 8y^2 \] Từ phương trình \( xy^2 = \frac{9}{4} \), ta có: \[ x = \frac{9}{4y^2} \] Thay \( x = \frac{9}{4y^2} \) vào biểu thức diện tích \( S \): \[ S = 9 \left(\frac{9}{4y^2}\right) y + 8y^2 \] \[ S = \frac{81}{4y} + 8y^2 \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), ta xét hàm số: \[ S(y) = \frac{81}{4y} + 8y^2 \] Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này. Để đơn giản, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai số dương \( \frac{81}{4y} \) và \( 8y^2 \): \[ \frac{81}{4y} + 8y^2 \geq 2\sqrt{\frac{81}{4y} \cdot 8y^2} \] \[ = 2\sqrt{\frac{81 \cdot 8y}{4}} \] \[ = 2\sqrt{162y} \] Để đạt được giá trị nhỏ nhất, ta cần: \[ \frac{81}{4y} = 8y^2 \] Giải phương trình: \[ \frac{81}{4y} = 8y^2 \] \[ 81 = 32y^3 \] \[ y^3 = \frac{81}{32} \] \[ y = \sqrt[3]{\frac{81}{32}} \] \[ y = \frac{3}{2} \] Khi \( y = \frac{3}{2} \), ta có: \[ x = \frac{9}{4y^2} = \frac{9}{4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2} = 1 \] Và \( h = 4y = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6 \). Thay vào biểu thức diện tích: \[ S = 9xy + 8y^2 = 9 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} + 8 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 \] \[ = \frac{27}{2} + 8 \cdot \frac{9}{4} \] \[ = \frac{27}{2} + 18 \] \[ = \frac{27}{2} + \frac{36}{2} \] \[ = \frac{63}{2} \] Vậy diện tích phần bìa nhỏ nhất là \( \frac{63}{2} \) dm².