Cho các số thực dương thỏa mãn $x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}=3$. Tìm GTLN của biểu thức $M=x^2+y^2+z^2$.

Question

minhthu_ · Accepted Answer

{"userId":5183859,"userName":"Bùi Ngọc Diễm"}

Mình để đáp án bạn tham khảo ở đây nhé!

Timi · Answer

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ M = x^2 + y^2 + z^2 $ với điều kiện $ x^{2011} + y^{2011} + z^{2011} = 3 $ và $ x, y, z $ là các số thực dương, chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp số $(x^{2011}, y^{2011}, z^{2011})$ và $(1, 1, 1)$:

$$
(x^{2011} + y^{2011} + z^{2011})(1 + 1 + 1) \geq (x^{1005.5} + y^{1005.5} + z^{1005.5})^2
$$

Bước 2: Thay $ x^{2011} + y^{2011} + z^{2011} = 3 $ vào bất đẳng thức trên:

$$
3 \cdot 3 \geq (x^{1005.5} + y^{1005.5} + z^{1005.5})^2
$$

$$
9 \geq (x^{1005.5} + y^{1005.5} + z^{1005.5})^2
$$

$$
3 \geq x^{1005.5} + y^{1005.5} + z^{1005.5}
$$

Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz lần nữa cho các cặp số $(x^2, y^2, z^2)$ và $(1, 1, 1)$:

$$
(x^2 + y^2 + z^2)(1 + 1 + 1) \geq (x + y + z)^2
$$

Bước 4: Thay $ x + y + z \leq 3 $ (do $ x^{1005.5} + y^{1005.5} + z^{1005.5} \leq 3 $) vào bất đẳng thức trên:

$$
(x^2 + y^2 + z^2) \cdot 3 \geq 3^2
$$

$$
3(x^2 + y^2 + z^2) \geq 9
$$

$$
x^2 + y^2 + z^2 \geq 3
$$

Bước 5: Để tìm giá trị lớn nhất của $ M = x^2 + y^2 + z^2 $, chúng ta cần kiểm tra trường hợp $ x = y = z $:

$$
x^{2011} + x^{2011} + x^{2011} = 3
$$

$$
3x^{2011} = 3
$$

$$
x^{2011} = 1
$$

$$
x = 1
$$

Do đó, $ x = y = z = 1 $.

Bước 6: Thay $ x = y = z = 1 $ vào biểu thức $ M $:

$$
M = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3
$$

Vậy giá trị lớn nhất của $ M $ là 3, đạt được khi $ x = y = z = 1 $.

Đáp án: Giá trị lớn nhất của $ M $ là 3, đạt được khi $ x = y = z = 1 $.