Cho hình thang cân ABCD cạnh bên là AD và BC ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính R = 2. a) Chứng minh rằng hai tam giác IAD và IBC vuông. b) Cho AB = 2x (0 < x < 2). Tính diện tích hình thang ABCD the...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần như sau: a) Chứng minh rằng hai tam giác IAD và IBC vuông. Hình thang cân ABCD có đường tròn nội tiếp, do đó tổng độ dài hai cạnh đối diện là bằng nhau: \(AB + CD = AD + BC\). Vì ABCD là hình thang cân, nên AD = BC. Do đó, \(AB + CD = 2AD\). Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh của hình thang tại các điểm tiếp xúc. Gọi các điểm tiếp xúc trên AD, BC, AB, CD lần lượt là M, N, P, Q. Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, nên IM = IN = IP = IQ = R = 2. Xét tam giác IAD, ta có: - IM = R = 2 - ID là đường trung trực của đoạn thẳng MN, do đó ID vuông góc với AD tại M. Tương tự, xét tam giác IBC, ta có: - IN = R = 2 - IC là đường trung trực của đoạn thẳng NP, do đó IC vuông góc với BC tại N. Vậy, hai tam giác IAD và IBC đều là tam giác vuông. b) Tính diện tích hình thang ABCD theo x. Cho AB = 2x (0 < x < 2). Vì ABCD là hình thang cân và có đường tròn nội tiếp, nên: - Tổng độ dài hai cạnh đối diện: \(AB + CD = 2AD\). Do đó, \(2x + CD = 2AD\). Vì AD = BC, nên \(CD = 2AD - 2x\). Diện tích hình thang ABCD được tính theo công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h \] Trong đó, \(h\) là chiều cao của hình thang. Vì tam giác IAD vuông tại M, nên \(h = IM = 2\). Thay vào công thức diện tích: \[ S = \frac{1}{2} \times (2x + (2AD - 2x)) \times 2 \] \[ S = \frac{1}{2} \times 2AD \times 2 \] \[ S = 2AD \] Vì AD = BC và hình thang cân, nên AD có thể được tính từ điều kiện \(AB + CD = 2AD\). Vậy diện tích hình thang ABCD theo x là \(S = 2AD\), trong đó AD có thể được xác định từ điều kiện hình thang cân và đường tròn nội tiếp.