Giúp mình giải chi tiết hết các bài

Chúng ta sẽ giải từng bài một chi tiết như sau: --- **Bài 10:** *Đề bài:* Một chiếc phà chạy xuôi dòng từ A đến B mất 3 giờ. Khi chạy ngược dòng mất 6 giờ. Nếu phà tắt máy trôi theo dòng nước thì thời gian trôi từ A đến B mất bao lâu? *Giải:* Gọi: - \( v_{\text{phà}} \) là vận tốc của phà đối với mặt nước - \( v_d \) là vận tốc dòng nước - \( L \) là khoảng cách từ A đến B Theo bài: - Xuôi dòng: vận tốc thực tế là \( v_{\text{phà}} + v_d \), thời gian \( t_1 = 3 \) giờ - Ngược dòng: vận tốc thực tế là \( v_{\text{phà}} - v_d \), thời gian \( t_2 = 6 \) giờ Từ đó ta có: \[ L = (v_{\text{phà}} + v_d) \times 3 = (v_{\text{phà}} - v_d) \times 6 \] Từ đó: \[ 3(v_{\text{phà}} + v_d) = 6(v_{\text{phà}} - v_d) \] Mở rộng: \[ 3v_{\text{phà}} + 3v_d = 6v_{\text{phà}} - 6v_d \] Chuyển về một phía: \[ 3v_d + 6v_d = 6v_{\text{phà}} - 3v_{\text{phà}} \implies 9v_d = 3v_{\text{phà}} \implies v_{\text{phà}} = 3v_d \] Thay lại vào biểu thức: \[ L = (v_{\text{phà}} + v_d) \times 3 = (3v_d + v_d) \times 3 = 4v_d \times 3 = 12 v_d \] Khi phà tắt máy, nó chỉ trôi theo dòng nước với vận tốc \( v_d \), nên thời gian trôi là: \[ t = \frac{L}{v_d} = \frac{12 v_d}{v_d} = 12 \text{ giờ} \] *Đáp số:* Thời gian trôi từ A đến B khi phà tắt máy là 12 giờ. --- **Bài 11:** *Đề bài:* Một thuyền đánh cá chuyển động ngược dòng nước làm rơi một cái phao. Thuyền tiếp tục chuyển động thêm 30 phút rồi quay lại và gặp phao cách chỗ làm rơi 5 km. Tìm vận tốc dòng nước, biết vận tốc thuyền đối với nước không đổi. *Giải:* Gọi: - \( v_t \) vận tốc thuyền đối với nước (không đổi) - \( v_d \) vận tốc dòng nước - Thời gian thuyền đi thêm 30 phút = 0,5 giờ Thuyền chuyển động ngược dòng với vận tốc thực là: \[ v_{\text{ngược}} = v_t - v_d \] Khi thuyền làm rơi phao, phao trôi theo dòng với vận tốc \( v_d \). Thuyền đi thêm 0.5 giờ ngược dòng nên quãng đường thêm là: \[ S_1 = (v_t - v_d) \times 0.5 \] Sau đó thuyền quay lại xuôi dòng với vận tốc: \[ v_{\text{xuôi}} = v_t + v_d \] Thời gian quay lại gặp phao là \( t_2 \). Quãng đường thuyền đi từ điểm quay lại đến vị trí gặp phao: \[ S_1 + 5 \quad (\text{vì gặp phao cách chỗ làm rơi 5 km}) \] Trong lúc này, phao trôi với vận tốc \( v_d \) thời gian \( t_2 + 0.5 \) (từ lúc rơi đến lúc gặp lại). Ta có: - Quãng đường phao trôi: \[ S_p = v_d (t_2 + 0.5) \] - Quãng đường thuyền đi trong \( t_2 \) xuôi dòng: \[ S_t = (v_t + v_d) t_2 \] Quan hệ: \[ S_t = S_1 + 5 \] Ngoài ra, quãng đường phao trôi sau khi thuyền làm rơi là bằng quãng đường thuyền đi ngược dòng cộng thêm khoảng cách 5 km: \[ S_p = S_1 + 5 \] Do đó: \[ v_d (t_2 + 0.5) = (v_t - v_d) \times 0.5 + 5 \] Từ đó tìm \( t_2 \): \[ t_2 = \frac{(v_t - v_d) \times 0.5 + 5}{v_d} - 0.5 \] Ngoài ra: \[ (v_t + v_d) t_2 = (v_t - v_d) \times 0.5 + 5 \] Thay \( t_2 \) vào: \[ (v_t + v_d) \left( \frac{(v_t - v_d) \times 0.5 + 5}{v_d} - 0.5 \right) = (v_t - v_d) \times 0.5 + 5 \] Giải phương trình trên để tìm \( v_d \) với giả định \( v_t \) biết hoặc có thể bỏ qua. Vì đề bài chưa cho \( v_t \) cụ thể, nên ta không thể tính được \( v_d \) chính xác. Nếu có số liệu \( v_t \), ta sẽ thay vào giải. --- **Bài 12:** *Đề bài:* Một ca nô đang chạy ngược dòng sông thì gặp một chiếc bè trôi xuôi dòng. Sau khi gặp bè 1h thì ca nô bị hỏng máy. Trong 30 phút sửa máy thì ca nô trôi theo dòng nước. Sau khi sửa xong, ca nô chạy tiếp 1h nữa rồi cập bến dỡ hàng. Sau đó ca nô quay lại gặp lại bè cách điểm gặp trước 9 km. Tìm vận tốc dòng nước. Biết vận tốc dòng nước và ca nô đối với nước không đổi. Bỏ qua thời gian dừng ở bến. *Giải:* Gọi: - \( v \) vận tốc dòng nước - \( u \) vận tốc ca nô đối với nước - Thời gian ca nô chạy ngược dòng đến lúc gặp bè: \( t_0 = 1 \) h - Thời gian ca nô sửa máy trôi theo dòng: 0.5 h - Thời gian chạy xuôi dòng sau sửa máy: 1 h - Quãng đường bè trôi giữa hai lần gặp là 9 km Xét chuyển động của ca nô và bè: - Bè trôi xuôi dòng với vận tốc \( v \) - Ca nô chạy ngược dòng với vận tốc thực tế \( u - v \) trước khi hỏng máy. Sau khi hỏng máy, ca nô trôi theo dòng với vận tốc \( v \). Sau sửa máy, ca nô chạy xuôi dòng với vận tốc \( u + v \). --- 1) Quãng đường ca nô chạy ngược dòng đến điểm gặp bè lần đầu: \[ S_1 = (u - v) \times 1 = u - v \] 2) Quãng đường bè đi trong thời gian 1h trước khi gặp ca nô lần đầu: \[ S_b = v \times t \] Vì ca nô và bè gặp nhau, khoảng cách đi của cả hai cộng lại bằng quãng đường ban đầu giữa chúng. Nhưng ta không cần giá trị này, vì quan tâm sự khác biệt vị trí sau 2 lần gặp. --- 3) Ca nô trôi 0.5h theo dòng sau khi hỏng máy, quãng đường: \[ S_2 = v \times 0.5 = 0.5 v \] 4) Ca nô chạy xuôi dòng 1h sau khi sửa máy: \[ S_3 = (u + v) \times 1 = u + v \] --- 5) Tổng quãng đường ca nô đi từ lần gặp đầu đến khi cập bến: \[ S_{\text{ca nô}} = S_2 + S_3 = 0.5 v + u + v = u + 1.5 v \] --- 6) Ca nô quay lại gặp bè ở điểm cách điểm gặp đầu 9 km (theo chiều xuôi dòng). Ta xét chuyển động của cả hai trong khoảng thời gian ca nô từ bến quay lại gặp bè. Gọi thời gian ca nô quay lại gặp bè là \( t \). - Ca nô chạy ngược dòng từ bến về gặp bè với vận tốc \( u - v \) trong thời gian \( t \), quãng đường: \[ S_c = (u - v) t \] - Bè trôi xuôi dòng trong thời gian \( t + 1.5 \) (bởi ca nô sửa máy và chạy xuôi dòng mất 1.5h), quãng đường: \[ S_b = v (t + 1.5) \] Khoảng cách giữa hai điểm gặp bè là 9 km nên: \[ S_c + S_b = 9 \] Thay: \[ (u - v) t + v (t + 1.5) = 9 \] Rút gọn: \[ (u - v) t + v t + 1.5 v = 9 \implies u t + 1.5 v = 9 \] --- 7) Thời gian \( t \) là thời gian ca nô từ bến quay lại gặp bè. Tổng thời gian ca nô từ lần gặp đầu đến gặp lại bè là: \[ T = 0.5 + 1 + t = 1.5 + t \] --- 8) Vận tốc ca nô trên quãng đường từ gặp đầu đến bến là tổng quãng đường chia tổng thời gian: \[ \frac{u + 1.5 v}{1.5} \] Ca nô đi ngược dòng 1h với vận tốc \( u - v \), nên: \[ u - v = \frac{u + 1.5 v}{1.5} \] Giải phương trình: \[ 1.5 (u - v) = u + 1.5 v \] \[ 1.5 u - 1.5 v = u + 1.5 v \] \[ 1.5 u - u = 1.5 v + 1.5 v \] \[ 0.5 u = 3 v \implies u = 6 v \] --- 9) Thay \( u = 6 v \) vào phương trình (6): \[ u t + 1.5 v = 9 \implies 6 v t + 1.5 v = 9 \implies v (6 t + 1.5) = 9 \] --- 10) Để tìm \( v \), ta cần thêm dữ kiện hoặc giá trị \( t \). Ta dùng quan hệ giữa \( t \) và các quãng đường. Xét thời gian ca nô từ bến về gặp bè: \[ S_c = (u - v) t = (6 v - v) t = 5 v t \] Bè trôi trong thời gian \( t + 1.5 \): \[ S_b = v (t + 1.5) \] Vì \( S_c + S_b = 9 \), ta có: \[ 5 v t + v (t + 1.5) = 9 \implies v (5 t + t + 1.5) = 9 \implies v (6 t + 1.5) = 9 \] Như trên. --- 11) Thời gian \( t \) là không xác định, ta giả sử giá trị cho \( t \) rồi tính \( v \), hoặc ngược lại. Ví dụ nếu \( t = 1 \) h, thì: \[ v (6 \times 1 + 1.5) = 9 \implies v \times 7.5 = 9 \implies v = \frac{9}{7.5} = 1.2 \text{ km/h} \] Vậy vận tốc dòng nước là khoảng 1.2 km/h (nếu \( t=1 \) h). --- **Kết luận:** Vận tốc dòng nước: \( v \), vận tốc ca nô \( u = 6 v \). Thông thường, ta chỉ tìm được tỉ số vận tốc \( u/v = 6 \). --- **Bài 13:** *Đề bài:* Giữa hai bến A và B có hai tàu chạy thẳng đều: tàu từ A chạy xuôi dòng, tàu từ B chạy ngược dòng. Khi gặp nhau, mỗi tàu chuyển thư rồi quay về bến xuất phát ngay. Khởi hành cùng lúc, tàu từ A đi về mất 3h, tàu từ B đi về mất 1h30p. Để thời gian đi về hai tàu bằng nhau, tàu từ A phải xuất phát muộn hơn tàu từ B bao lâu? Biết vận tốc mỗi tàu đối với nước bằng nhau và không đổi. *Giải:* Gọi: - \( v \) vận tốc tàu đối với nước - \( v_d \) vận tốc dòng nước - \( L \) khoảng cách A-B - Thời gian tàu A đi về: 3h - Thời gian tàu B đi về: 1.5h --- 1) Tàu A đi xuôi dòng: - Vận tốc xuôi dòng: \( v + v_d \) - Vận tốc ngược dòng: \( v - v_d \) Tàu B đi ngược dòng: - Vận tốc xuôi dòng: \( v + v_d \) - Vận tốc ngược dòng: \( v - v_d \) --- 2) Gọi \( x \) là khoảng cách tàu gặp nhau từ bến A. Tàu A đi từ A đến điểm gặp với vận tốc \( v + v_d \), thời gian: \[ t_A = \frac{x}{v + v_d} \] Tàu B đi từ B đến điểm gặp với vận tốc \( v - v_d \), thời gian: \[ t_B = \frac{L - x}{v - v_d} \] Vì cùng lúc khởi hành và gặp nhau cùng lúc: \[ t_A = t_B = t \] --- 3) Tàu A đi về bến A: - Thời gian về là thời gian từ điểm gặp đến A với vận tốc \( v - v_d \): \[ t_{A_{\text{về}}} = \frac{x}{v - v_d} \] Tàu A tổng thời gian đi về: \[ T_A = t + t_{A_{\text{về}}} = 3 \text{ giờ} \] --- 4) Tàu B đi về bến B: - Thời gian về từ điểm gặp đến B với vận tốc \( v + v_d \): \[ t_{B_{\text{về}}} = \frac{L - x}{v + v_d} \] Tàu B tổng thời gian: \[ T_B = t + t_{B_{\text{về}}} = 1.5 \text{ giờ} \] --- 5) Từ (2) ta có: \[ t = \frac{x}{v + v_d} = \frac{L - x}{v - v_d} \] Giải ra: \[ x (v - v_d) = (L - x)(v + v_d) \implies x v - x v_d = L v + L v_d - x v - x v_d \] Nhóm các hạng tử: \[ x v - x v_d + x v + x v_d = L v + L v_d \] \[ 2 x v = L v + L v_d \implies x = \frac{L (v + v_d)}{2 v} \] --- 6) Tính \( T_A \): \[ T_A = t + t_{A_{\text{về}}} = \frac{x}{v + v_d} + \frac{x}{v - v_d} \] Thay \( x \): \[ T_A = \frac{L (v + v_d)}{2 v (v + v_d)} + \frac{L (v + v_d)}{2 v (v - v_d)} = \frac{L}{2 v} + \frac{L (v + v_d)}{2 v (v - v_d)} \] --- 7) Tính \( T_B \): \[ T_B = t + t_{B_{\text{về}}} = \frac{L - x}{v - v_d} + \frac{L - x}{v + v_d} \] Thay \( x \): \[ L - x = L - \frac{L (v + v_d)}{2 v} = L \left(1 - \frac{v + v_d}{2 v}\right) = L \frac{2 v - v - v_d}{2 v} = \frac{L (v - v_d)}{2 v} \] Do đó: \[ T_B = \frac{\frac{L (v - v_d)}{2 v}}{v - v_d} + \frac{\frac{L (v - v_d)}{2 v}}{v + v_d} = \frac{L}{2 v} + \frac{L (v - v_d)}{2 v (v + v_d)} \] --- 8) Ta biết: \[ T_A = 3, \quad T_B = 1.5 \] --- 9)