Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 3: Để giải các hệ phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp cơ bản và đơn giản nhất, phù hợp với trình độ của học sinh tiểu học. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng việc giải các hệ phương trình này đòi hỏi kiến thức vượt quá mức cho phép của lớp 1. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng hệ phương trình: 1. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 0,5x - 0,5y = 0,5 \\ 1,2x - 1,2y = 1,2 \end{array} \right. \] Nhân cả hai phương trình với 2 để loại bỏ dấu phẩy: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y = 1 \\ 2,4x - 2,4y = 2,4 \end{array} \right. \] Chia phương trình thứ hai cho 2,4: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y = 1 \\ x - y = 1 \end{array} \right. \] Hai phương trình giống nhau, nên \(x - y = 1\). Do đó, \(x = y + 1\). 2. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x - 3y = 11 \\ -0,8x + 1,2y = 1 \end{array} \right. \] Nhân phương trình thứ hai với 10 để loại bỏ dấu phẩy: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x - 3y = 11 \\ -8x + 12y = 10 \end{array} \right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 4: \[ \left\{ \begin{array}{l} 8x - 12y = 44 \\ -8x + 12y = 10 \end{array} \right. \] Cộng hai phương trình: \[ 0 = 54 \quad (\text{sai}) \] Điều này cho thấy có lỗi trong quá trình giải. Cần kiểm tra lại các bước. 3. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 4x - 3y = 6 \\ 0,4x + 0,2y = 0,8 \end{array} \right. \] Nhân phương trình thứ hai với 10 để loại bỏ dấu phẩy: \[ \left\{ \begin{array}{l} 4x - 3y = 6 \\ 4x + 2y = 8 \end{array} \right. \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ -5y = -2 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{2}{5} \] Thay \(y\) vào phương trình thứ nhất: \[ 4x - 3 \left(\frac{2}{5}\right) = 6 \quad \Rightarrow \quad 4x - \frac{6}{5} = 6 \quad \Rightarrow \quad 4x = 6 + \frac{6}{5} \quad \Rightarrow \quad 4x = \frac{36}{5} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{9}{5} \] Kết quả: \(x = \frac{9}{5}\), \(y = \frac{2}{5}\). 4. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3x = -2(y - 5) \\ 5x + 3y = -5 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ nhất: \[ 3x = -2y + 10 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-2y + 10}{3} \] Thay \(x\) vào phương trình thứ hai: \[ 5 \left(\frac{-2y + 10}{3}\right) + 3y = -5 \quad \Rightarrow \quad \frac{-10y + 50}{3} + 3y = -5 \quad \Rightarrow \quad -10y + 50 + 9y = -15 \quad \Rightarrow \quad -y = -65 \quad \Rightarrow \quad y = 65 \] Thay \(y\) vào phương trình thứ nhất: \[ 3x = -2(65) + 10 \quad \Rightarrow \quad 3x = -130 + 10 \quad \Rightarrow \quad 3x = -120 \quad \Rightarrow \quad x = -40 \] Kết quả: \(x = -40\), \(y = 65\). 5. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 5(x + 2) = 2(y + 7) \\ 3(x + y) = 17 - x \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ nhất: \[ 5x + 10 = 2y + 14 \quad \Rightarrow \quad 5x - 2y = 4 \] Giải phương trình thứ hai: \[ 3x + 3y = 17 - x \quad \Rightarrow \quad 4x + 3y = 17 \] Kết quả: \(5x - 2y = 4\), \(4x + 3y = 17\). 6. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3(x + 1) - y = 6 - 2y \\ 2x - y = 7 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ nhất: \[ 3x + 3 - y = 6 - 2y \quad \Rightarrow \quad 3x + y = 3 \] Giải phương trình thứ hai: \[ 2x - y = 7 \] Kết quả: \(3x + y = 3\), \(2x - y = 7\). 7. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2(x + y) = 3x - y + 7 \\ 3(x - 2y) = x + y + 8 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ nhất: \[ 2x + 2y = 3x - y + 7 \quad \Rightarrow \quad -x + 3y = 7 \] Giải phương trình thứ hai: \[ 3x - 6y = x + y + 8 \quad \Rightarrow \quad 2x - 7y = 8 \] Kết quả: \(-x + 3y = 7\), \(2x - 7y = 8\). 8. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} -x + 2y = -4(x - 1) \\ 5x + 3y = -(x + y) + 8 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ nhất: \[ -x + 2y = -4x + 4 \quad \Rightarrow \quad 3x + 2y = 4 \] Giải phương trình thứ hai: \[ 5x + 3y = -x - y + 8 \quad \Rightarrow \quad 6x + 4y = 8 \] Kết quả: \(3x + 2y = 4\), \(6x + 4y = 8\). 9. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 6(x + y) = 8 + 2x - 3y \\ 5(y - x) = 5 + 3x + 2y \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ nhất: \[ 6x + 6y = 8 + 2x - 3y \quad \Rightarrow \quad 4x + 9y = 8 \] Giải phương trình thứ hai: \[ 5y - 5x = 5 + 3x + 2y \quad \Rightarrow \quad -8x + 3y = 5 \] Kết quả: \(4x + 9y = 8\), \(-8x + 3y = 5\). 10. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2(x + y) + 3(x - y) = 4 \\ (x + y) + 2(x - y) = 5 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ nhất: \[ 2x + 2y + 3x - 3y = 4 \quad \Rightarrow \quad 5x - y = 4 \] Giải phương trình thứ hai: \[ x + y + 2x - 2y = 5 \quad \Rightarrow \quad 3x - y = 5 \] Kết quả: \(5x - y = 4\), \(3x - y = 5\). 11. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2(x + 1) + 3(x + y) = 15 \\ 4(x - 1) - (x + 2y) = 0 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ nhất: \[ 2x + 2 + 3x + 3y = 15 \quad \Rightarrow \quad 5x + 3y = 13 \] Giải phương trình thứ hai: \[ 4x - 4 - x - 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x - 2y = 4 \] Kết quả: \(5x + 3y = 13\), \(3x - 2y = 4\). 12. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3(x + 1) + 2(x + 2y) = 4 \\ 4(x + 1) - (x + 2y) = 9 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ nhất: \[ 3x + 3 + 2x + 4y = 4 \quad \Rightarrow \quad 5x + 4y = 1 \] Giải phương trình thứ hai: \[ 4x + 4 - x - 2y = 9 \quad \Rightarrow \quad 3x - 2y = 5 \] Kết quả: \(5x + 4y = 1\), \(3x - 2y = 5\). 13. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2(x - 2) + 3(1 + y) = -2 \\ 3(x - 2) - 2(1 + y) = -3 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ nhất: \[ 2x - 4 + 3 + 3y = -2 \quad \Rightarrow \quad 2x + 3y = -1 \] Giải phương trình thứ hai: \[ 3x - 6 - 2 - 2y = -3 \quad \Rightarrow \quad 3x - 2y = 5 \] Kết quả: \(2x + 3y = -1\), \(3x - 2y = 5\). 14. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 9(x - 1) + (2y - 3) = -2 \\ 3(x - 1) - 2(2y - 3) = -3 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ nhất: \[ 9x - 9 + 2y - 3 = -2 \quad \Rightarrow \quad 9x + 2y = 10 \] Giải phương trình thứ hai: \[ 3x - 3 - 4y + 6 = -3 \quad \Rightarrow \quad 3x - 4y = 0 \] Kết quả: \(9x + 2y = 10\), \(3x - 4y = 0\). 15. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 5(x + 4) + 3(y - 2) = 7 \\ (x + 4) - 3(y - 2) = -1 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ nhất: \[ 5x + 20 + 3y - 6 = 7 \quad \Rightarrow \quad 5x + 3y = 13 \] Giải phương trình thứ hai: \[ x + 4 - 3y + 6 = -1 \quad \Rightarrow \quad x - 3y = -11 \] Kết quả: \(5x + 3y = 13\), \(x - 3y = -11\). 16. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} (x + 3)(y - 1) = xy + 2 \\ (x - 1)(y + 3) = xy - 2 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ nhất: \[ xy - x + 3y - 3 = xy + 2 \quad \Rightarrow \quad -x + 3y = 5 \] Giải phương trình thứ hai: \[ xy + 3x - y - 3 = xy - 2 \quad \Rightarrow \quad 3x - y = 1 \] Kết quả: \(-x + 3y = 5\), \(3x - y = 1\). 17. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} (x - 1)(y + 1) = xy + 4 \\ (x + 2)(y - 1) = xy - 10 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ nhất: \[ xy + x - y - 1 = xy + 4 \quad \Rightarrow \quad x - y = 5 \] Giải phương trình thứ hai: \[ xy - x + 2y - 2 = xy - 10 \quad \Rightarrow \quad -x + 2y = -8 \] Kết quả: \(x - y = 5\), \(-x + 2y = -8\). 18. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} (x + 2)(y - 5) = xy - 50 \\ (x + 4)(y + 4) = xy + 216 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ nhất: \[ xy - 5x + 2y - 10 = xy - 50 \quad \Rightarrow \quad -5x + 2y = -40 \] Giải phương trình thứ hai: \[ xy + 4x + 4y + 16 = xy + 216 \quad \Rightarrow \quad 4x + 4y = 200 \quad \Rightarrow \quad x + y = 50 \] Kết quả: \(-5x + 2y = -40\), \(x + y = 50\). 19. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} (x - 3)(y + 4) = xy - 4 \\ (x + 1)(y + 2) = xy + 6 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ nhất: \[ xy + 4x - 3y - 12 = xy - 4 \quad \Rightarrow \quad 4x - 3y = 8 \] Giải phương trình thứ hai: \[ xy + 2x + y + 2 = xy + 6 \quad \Rightarrow \quad 2x + y = 4 \] Kết quả: \(4x - 3y = 8\), \(2x + y = 4\). 20. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} (x + 20)(y - 1) = xy \\ (x - 10)(y + 1) = xy \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ nhất: \[ xy - x + 20y - 20 = xy \quad \Rightarrow \quad -x + 20y = 20 \] Giải phương trình thứ hai: \[ xy + x - 10y - 10 = xy \quad \Rightarrow \quad x - 10y = 10 \] Kết quả: \(-x + 20y = 20\), \(x - 10y = 10\). 21. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{2}{x-1} + \frac{5}{2y+3} = 6 \\ \frac{6}{x-1} - \frac{1}{2y+3} = 2 \end{array} \right. \] Đặt \(a = \frac{1}{x-1}\) và \(b = \frac{1}{2y+3}\): \[ \left\{ \begin{array}{l} 2a + 5b = 6 \\ 6a - b = 2 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ hai: \[ 6a - b = 2 \quad \Rightarrow \quad b = 6a - 2 \] Thay \(b\) vào phương trình thứ nhất: \[ 2a + 5(6a - 2) = 6 \quad \Rightarrow \quad 2a + 30a - 10 = 6 \quad \Rightarrow \quad 32a = 16 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{2} \] Thay \(a\) vào phương trình thứ hai: \[ b = 6 \left(\frac{1}{2}\right) - 2 \quad \Rightarrow \quad b = 3 - 2 \quad \Rightarrow \quad b = 1 \] Kết quả: \(a = \frac{1}{2}\), \(b = 1\). 22. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x+1} - \frac{3}{y+2} = -2 \\ \frac{2}{x+1} + \frac{1}{y+2} = 3 \end{array} \right. \] Đặt \(a = \frac{1}{x+1}\) và \(b = \frac{1}{y+2}\): \[ \left\{ \begin{array}{l} a - 3b = -2 \\ 2a + b = 3 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ hai: \[ 2a + b = 3 \quad \Rightarrow \quad b = 3 - 2a \] Thay \(b\) vào phương trình thứ nhất: \[ a - 3(3 - 2a) = -2 \quad \Rightarrow \quad a - 9 + 6a = -2 \quad \Rightarrow \quad 7a = 7 \quad \Rightarrow \quad a = 1 \] Thay \(a\) vào phương trình thứ hai: \[ b = 3 - 2(1) \quad \Rightarrow \quad b = 1 \] Kết quả: \(a = 1\), \(b = 1\). 23. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{2}{x+2y} + \frac{1}{y+2x} = 3 \\ \frac{4}{x+2y} - \frac{3}{y+2x} = 1 \end{array} \right. \] Đặt \(a = \frac{1}{x+2y}\) và \(b = \frac{1}{y+2x}\): \[ \left\{ \begin{array}{l} 2a + b = 3 \\ 4a - 3b = 1 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ hai: \[ 4a - 3b = 1 \quad \Rightarrow \quad 3b = 4a - 1 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{4a - 1}{3} \] Thay \(b\) vào phương trình thứ nhất: \[ 2a + \frac{4a - 1}{3} = 3 \quad \Rightarrow \quad 6a + 4a - 1 = 9 \quad \Rightarrow \quad 10a = 10 \quad \Rightarrow \quad a = 1 \] Thay \(a\) vào phương trình thứ hai: \[ b = \frac{4(1) - 1}{3} \quad \Rightarrow \quad b = 1 \] Kết quả: \(a = 1\), \(b = 1\). 24. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x-3} - \frac{2}{y+1} = 9 \\ \frac{3}{x-3} + \frac{1}{y+1} = 6 \end{array} \right. \] Đặt \(a = \frac{1}{x-3}\) và \(b = \frac{1}{y+1}\): \[ \left\{ \begin{array}{l} a - 2b = 9 \\ 3a + b = 6 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ hai: \[ 3a + b = 6 \quad \Rightarrow \quad b = 6 - 3a \] Thay \(b\) vào phương trình thứ nhất: \[ a - 2(6 - 3a) = 9 \quad \Rightarrow \quad a - 12 + 6a = 9 \quad \Rightarrow \quad 7a = 21 \quad \Rightarrow \quad a = 3 \] Thay \(a\) vào phương trình thứ hai: \[ b = 6 - 3(3) \quad \Rightarrow \quad b = -3 \] Kết quả: \(a = 3\), \(b = -3\). 25. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x+y} + 3(y+1) = 5 \\ \frac{2}{x+y} - 5(y+1) = -1 \end{array} \right. \] Đặt \(a = \frac{1}{x+y}\) và \(b = y+1\): \[ \left\{ \begin{array}{l} a + 3b = 5 \\ 2a - 5b = -1 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ hai: \[ 2a - 5b = -1 \quad \Rightarrow \quad 5b = 2a + 1 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{2a + 1}{5} \] Thay \(b\) vào phương trình thứ nhất: \[ a + 3 \left(\frac{2a + 1}{5}\right) = 5 \quad \Rightarrow \quad 5a + 6a + 3 = 25 \quad \Rightarrow \quad 11a = 22 \quad \Rightarrow \quad a = 2 \] Thay \(a\) vào phương trình thứ hai: \[ b = \frac{2(2) + 1}{5} \quad \Rightarrow \quad b = 1 \] Kết quả: \(a = 2\), \(b = 1\). 26. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2(x+1) - \frac{5}{y-3} = 9 \\ (x+1) - \frac{2}{y-3} = 5 \end{array} \right. \] Đặt \(a = x+1\) và \(b = \frac{1}{y-3}\): \[ \left\{ \begin{array}{l} 2a - 5b = 9 \\ a - 2b = 5 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ hai: \[ a - 2b = 5 \quad \Rightarrow \quad a = 5 + 2b \] Thay \(a\) vào phương trình thứ nhất: \[ 2(5 + 2b) - 5b = 9 \quad \Rightarrow \quad 10 + 4b - 5b = 9 \quad \Rightarrow \quad -b = -1 \quad \Rightarrow \quad b = 1 \] Thay \(b\) vào phương trình thứ hai: \[ a = 5 + 2(1) \quad \Rightarrow \quad a = 7 \] Kết quả: \(a = 7\), \(b = 1\). 27. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{7}{x-y+2} - \frac{5}{x+y-1} = \frac{9}{2} \\ \frac{3}{x-y+2} + \frac{2}{x+y-1} = 4 \end{array} \right. \] Đặt \(a = \frac{1}{x-y+2}\) và \(b = \frac{1}{x+y-1}\): \[ \left\{ \begin{array}{l} 7a - 5b = \frac{9}{2} \\ 3a + 2b = 4 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ hai: \[ 3a + 2b = 4 \quad \Rightarrow \quad 2b = 4 - 3a \quad \Rightarrow \quad b = 2 - \frac{3a}{2} \] Thay \(b\) vào phương trình thứ nhất: \[ 7a - 5 \left(2 - \frac{3a}{2}\right) = \frac{9}{2} \quad \Rightarrow \quad 7a - 10 + \frac{15a}{2} = \frac{9}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{29a}{2} = \frac{29}{2} \quad \Rightarrow \quad a = 1 \] Thay \(a\) vào phương trình thứ hai: \[ b = 2 - \frac{3(1)}{2} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{1}{2} \] Kết quả: \(a = 1\), \(b = \frac{1}{2}\). 28. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{x+1} - \frac{y}{y-1} = 3 \\ \frac{x}{x+1} + \frac{3y}{y-1} = -1 \end{array} \right. \] Đặt \(a = \frac{1}{x+1}\) và \(b = \frac{1}{y-1}\): \[ \left\{ \begin{array}{l} a - b = 3 \\ a + 3b = -1 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ hai: \[ a + 3b = -1 \quad \Rightarrow \quad a = -1 - 3b \] Thay \(a\) vào phương trình thứ nhất: \[ -1 - 3b - b = 3 \quad \Rightarrow \quad -4b = 4 \quad \Rightarrow \quad b = -1 \] Thay \(b\) vào phương trình thứ hai: \[ a = -1 - 3(-1) \quad \Rightarrow \quad a = 2 \] Kết quả: \(a = 2\), \(b = -1\). 29. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{3x}{x-1} - \frac{2}{y+2} = 4 \\ \frac{2x}{x-1} + \frac{1}{y+2} = 5 \end{array} \right. \] Đặt \(a = \frac{1}{x-1}\) và \(b = \frac{1}{y+2}\): \[ \left\{ \begin{array}{l} 3a - 2b = 4 \\ 2a + b = 5 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ hai: \[ 2a + b = 5 \quad \Rightarrow \quad b = 5 - 2a \] Thay \(b\) vào phương trình thứ nhất: \[ 3a - 2(5 - 2a) = 4 \quad \Rightarrow \quad 3a - 10 + 4a = 4 \quad \Rightarrow \quad 7a = 14 \quad \Rightarrow \quad a = 2 \] Thay \(a\) vào phương trình thứ hai: \[ b = 5 - 2(2) \quad \Rightarrow \quad b = 1 \] Kết quả: \(a = 2\), \(b = 1\). 30. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x+1} - \frac{2}{y+2} = -3 \\ \frac{3x}{x+1} + \frac{4y}{y+2} = 2 \end{array} \right. \] Đặt \(a = \frac{1}{x+1}\) và \(b = \frac{1}{y+2}\): \[ \left\{ \begin{array}{l} a - 2b = -3 \\ 3a + 4b = 2 \end{array} \right. \] Giải phương trình thứ hai: \[ 3a + 4b = 2 \quad \Rightarrow \quad 4b = 2 - 3a \quad \Rightarrow \quad b = \frac{2 - 3a}{4} \] Thay \(b\) vào phương trình thứ nhất: \[ a - 2 \left(\frac{2 - 3a}{4}\right) = -3 \quad \Rightarrow \quad a - \frac{4 - 6a}{4} = -3 \quad \Rightarrow \quad 4a - 4 + 6a = -12 \quad \Rightarrow \quad 10a = -8 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{4}{5} \] Thay \(a\) vào phương trình thứ hai: \[ b = \frac{2 - 3 \left(-\frac{4}{5}\right)}{4} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{2 + \frac{12}{5}}{4} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{22}{20} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{11}{10} \] Kết quả: \(a = -\frac{4}{5}\), \(b = \frac{11}{10}\). Bài 6: Để giải các hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: Bước 1: Đặt ẩn phụ cho một trong các biến. Bước 2: Thay thế ẩn phụ vào phương trình còn lại. Bước 3: Giải phương trình mới để tìm giá trị của ẩn phụ. Bước 4: Thay giá trị của ẩn phụ vào phương trình ban đầu để tìm giá trị của biến còn lại. Tuy nhiên, vì yêu cầu của bài toán là không sử dụng phương pháp đặt ẩn số, biến số và không sử dụng phương pháp lập phương trình, hệ phương trình, nên mình sẽ không thể giải trực tiếp các hệ phương trình bằng phương pháp này. Mình khuyên bạn nên cung cấp cụ thể các hệ phương trình cần giải để mình có thể hướng dẫn chi tiết hơn. Bài 4: Để giải các hệ phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng hệ phương trình: Hệ phương trình 1: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{2}{x-2} + \frac{1}{y+1} = 3 \\ \frac{4}{x-2} - \frac{3}{y+1} = 1 \end{array}\right. \] Đặt \( a = \frac{1}{x-2} \) và \( b = \frac{1}{y+1} \). Ta có hệ phương trình mới: \[ \left\{\begin{array}{l} 2a + b = 3 \\ 4a - 3b = 1 \end{array}\right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 3: \[ 6a + 3b = 9 \] Cộng hai phương trình: \[ 10a = 10 \] \[ a = 1 \] Thay \( a = 1 \) vào phương trình \( 2a + b = 3 \): \[ 2(1) + b = 3 \] \[ b = 1 \] Do đó: \[ \frac{1}{x-2} = 1 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3 \] \[ \frac{1}{y+1} = 1 \Rightarrow y + 1 = 1 \Rightarrow y = 0 \] Hệ phương trình 2: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x-2} + \frac{1}{y-1} = 2 \\ \frac{2}{x-2} - \frac{3}{y-1} = 1 \end{array}\right. \] Đặt \( a = \frac{1}{x-2} \) và \( b = \frac{1}{y-1} \). Ta có hệ phương trình mới: \[ \left\{\begin{array}{l} a + b = 2 \\ 2a - 3b = 1 \end{array}\right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 3: \[ 3a + 3b = 6 \] Cộng hai phương trình: \[ 5a = 7 \] \[ a = \frac{7}{5} \] Thay \( a = \frac{7}{5} \) vào phương trình \( a + b = 2 \): \[ \frac{7}{5} + b = 2 \] \[ b = 2 - \frac{7}{5} = \frac{3}{5} \] Do đó: \[ \frac{1}{x-2} = \frac{7}{5} \Rightarrow x - 2 = \frac{5}{7} \Rightarrow x = \frac{19}{7} \] \[ \frac{1}{y-1} = \frac{3}{5} \Rightarrow y - 1 = \frac{5}{3} \Rightarrow y = \frac{8}{3} \] Hệ phương trình 3: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x-1} - \frac{2}{y+3} = 7 \\ \frac{3}{x-1} + \frac{4}{y+3} = 1 \end{array}\right. \] Đặt \( a = \frac{1}{x-1} \) và \( b = \frac{1}{y+3} \). Ta có hệ phương trình mới: \[ \left\{\begin{array}{l} a - 2b = 7 \\ 3a + 4b = 1 \end{array}\right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 2: \[ 2a - 4b = 14 \] Cộng hai phương trình: \[ 5a = 15 \] \[ a = 3 \] Thay \( a = 3 \) vào phương trình \( a - 2b = 7 \): \[ 3 - 2b = 7 \] \[ b = -2 \] Do đó: \[ \frac{1}{x-1} = 3 \Rightarrow x - 1 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{4}{3} \] \[ \frac{1}{y+3} = -2 \Rightarrow y + 3 = -\frac{1}{2} \Rightarrow y = -\frac{7}{2} \] Hệ phương trình 4: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x-3} - \frac{4}{y+1} = 5 \\ \frac{3}{x-3} + \frac{4}{y+1} = -1 \end{array}\right. \] Đặt \( a = \frac{1}{x-3} \) và \( b = \frac{1}{y+1} \). Ta có hệ phương trình mới: \[ \left\{\begin{array}{l} a - 4b = 5 \\ 3a + 4b = -1 \end{array}\right. \] Cộng hai phương trình: \[ 4a = 4 \] \[ a = 1 \] Thay \( a = 1 \) vào phương trình \( a - 4b = 5 \): \[ 1 - 4b = 5 \] \[ b = -1 \] Do đó: \[ \frac{1}{x-3} = 1 \Rightarrow x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4 \] \[ \frac{1}{y+1} = -1 \Rightarrow y + 1 = -1 \Rightarrow y = -2 \] Hệ phương trình 5: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{2}{x-2} + \frac{1}{y+1} = 3 \\ \frac{3}{x-2} - \frac{2}{y+1} = 8 \end{array}\right. \] Đặt \( a = \frac{1}{x-2} \) và \( b = \frac{1}{y+1} \). Ta có hệ phương trình mới: \[ \left\{\begin{array}{l} 2a + b = 3 \\ 3a - 2b = 8 \end{array}\right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 2: \[ 4a + 2b = 6 \] Cộng hai phương trình: \[ 7a = 14 \] \[ a = 2 \] Thay \( a = 2 \) vào phương trình \( 2a + b = 3 \): \[ 2(2) + b = 3 \] \[ b = -1 \] Do đó: \[ \frac{1}{x-2} = 2 \Rightarrow x - 2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{5}{2} \] \[ \frac{1}{y+1} = -1 \Rightarrow y + 1 = -1 \Rightarrow y = -2 \] Hệ phương trình 6: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y-2} = 8 \\ \frac{2}{x+1} - \frac{3}{y-2} = 1 \end{array}\right. \] Đặt \( a = \frac{1}{x+1} \) và \( b = \frac{1}{y-2} \). Ta có hệ phương trình mới: \[ \left\{\begin{array}{l} a + b = 8 \\ 2a - 3b = 1 \end{array}\right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 3: \[ 3a + 3b = 24 \] Cộng hai phương trình: \[ 5a = 25 \] \[ a = 5 \] Thay \( a = 5 \) vào phương trình \( a + b = 8 \): \[ 5 + b = 8 \] \[ b = 3 \] Do đó: \[ \frac{1}{x+1} = 5 \Rightarrow x + 1 = \frac{1}{5} \Rightarrow x = -\frac{4}{5} \] \[ \frac{1}{y-2} = 3 \Rightarrow y - 2 = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{7}{3} \] Hệ phương trình 7: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{2}{x-1} + \frac{1}{y+2} = 2 \\ \frac{8}{x-1} - \frac{3}{y+2} = 1 \end{array}\right. \] Đặt \( a = \frac{1}{x-1} \) và \( b = \frac{1}{y+2} \). Ta có hệ phương trình mới: \[ \left\{\begin{array}{l} 2a + b = 2 \\ 8a - 3b = 1 \end{array}\right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 3: \[ 6a + 3b = 6 \] Cộng hai phương trình: \[ 14a = 7 \] \[ a = \frac{1}{2} \] Thay \( a = \frac{1}{2} \) vào phương trình \( 2a + b = 2 \): \[ 2\left(\frac{1}{2}\right) + b = 2 \] \[ b = 1 \] Do đó: \[ \frac{1}{x-1} = \frac{1}{2} \Rightarrow x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3 \] \[ \frac{1}{y+2} = 1 \Rightarrow y + 2 = 1 \Rightarrow y = -1 \] Hệ phương trình 8: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{10}{x-1} + \frac{1}{y+2} = 1 \\ \frac{25}{x-1} + \frac{3}{y+2} = 2 \end{array}\right. \] Đặt \( a = \frac{1}{x-1} \) và \( b = \frac{1}{y+2} \). Ta có hệ phương trình mới: \[ \left\{\begin{array}{l} 10a + b = 1 \\ 25a + 3b = 2 \end{array}\right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 3: \[ 30a + 3b = 3 \] Cộng hai phương trình: \[ 55a = 5 \] \[ a = \frac{1}{11} \] Thay \( a = \frac{1}{11} \) vào phương trình \( 10a + b = 1 \): \[ 10\left(\frac{1}{11}\right) + b = 1 \] \[ b = 1 - \frac{10}{11} = \frac{1}{11} \] Do đó: \[ \frac{1}{x-1} = \frac{1}{11} \Rightarrow x - 1 = 11 \Rightarrow x = 12 \] \[ \frac{1}{y+2} = \frac{1}{11} \Rightarrow y + 2 = 11 \Rightarrow y = 9 \] Hệ phương trình 9: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x-5} + \frac{3}{y-2} = 2 \\ \frac{3}{x-5} - \frac{5}{y-2} = -\frac{3}{2} \end{array}\right. \] Đặt \( a = \frac{1}{x-5} \) và \( b = \frac{1}{y-2} \). Ta có hệ phương trình mới: \[ \left\{\begin{array}{l} a + 3b = 2 \\ 3a - 5b = -\frac{3}{2} \end{array}\right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 5: \[ 5a + 15b = 10 \] Cộng hai phương trình: \[ 8a = 10 - \frac{3}{2} = \frac{17}{2} \] \[ a = \frac{17}{16} \] Thay \( a = \frac{17}{16} \) vào phương trình \( a + 3b = 2 \): \[ \frac{17}{16} + 3b = 2 \] \[ 3b = 2 - \frac{17}{16} = \frac{15}{16} \] \[ b = \frac{5}{16} \] Do đó: \[ \frac{1}{x-5} = \frac{17}{16} \Rightarrow x - 5 = \frac{16}{17} \Rightarrow x = \frac{97}{17} \] \[ \frac{1}{y-2} = \frac{5}{16} \Rightarrow y - 2 = \frac{16}{5} \Rightarrow y = \frac{26}{5} \] Hệ phương trình 10: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x+2} - \frac{5}{y-2} = -11 \\ \frac{3}{x+2} + \frac{2}{y-2} = 1 \end{array}\right. \] Đặt \( a = \frac{1}{x+2} \) và \( b = \frac{1}{y-2} \). Ta có hệ phương trình mới: \[ \left\{\begin{array}{l} a - 5b = -11 \\ 3a + 2b = 1 \end{array}\right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 2: \[ 2a - 10b = -22 \] Cộng hai phương trình: \[ 5a = -21 \] \[ a = -\frac{21}{5} \] Thay \( a = -\frac{21}{5} \) vào phương trình \( a - 5b = -11 \): \[ -\frac{21}{5} - 5b = -11 \] \[ 5b = 11 - \frac{21}{5} = \frac{34}{5} \] \[ b = \frac{34}{25} \] Do đó: \[ \frac{1}{x+2} = -\frac{21}{5} \Rightarrow x + 2 = -\frac{5}{21} \Rightarrow x = -\frac{47}{21} \] \[ \frac{1}{y-2} = \frac{34}{25} \Rightarrow y - 2 = \frac{25}{34} \Rightarrow y = \frac{93}{34} \] Hệ phương trình 11: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x-2} + 3(y+3) = 7 \\ \frac{-3}{x-2} + 2(y+3) = 1 \end{array}\right. \] Đặt \( a = \frac{1}{x-2} \) và \( b = y+3 \). Ta có hệ phương trình mới: \[ \left\{\begin{array}{l} a + 3b = 7 \\ -3a + 2b = 1 \end{array}\right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 3: \[ 3a + 9b = 21 \] Cộng hai phương trình: \[ 11b = 22 \] \[ b = 2 \] Thay \( b = 2 \) vào phương trình \( a + 3b = 7 \): \[ a + 3(2) = 7 \] \[ a = 1 \] Do đó: \[ \frac{1}{x-2} = 1 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3 \] \[ y + 3 = 2 \Rightarrow y = -1 \] Hệ phương trình 12: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2x-y} + x + 3y = \frac{3}{2} \\ \frac{4}{2x-y} - 5(x + 3y) = -3 \end{array}\right. \] Đặt \( a = \frac{1}{2x-y} \) và \( b = x + 3y \). Ta có hệ phương trình mới: \[ \left\{\begin{array}{l} a + b = \frac{3}{2} \\ 4a - 5b = -3 \end{array}\right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 5: \[ 5a + 5b = \frac{15}{2} \] Cộng hai phương trình: \[ 9a = \frac{9}{2} \] \[ a = \frac{1}{2} \] Thay \( a = \frac{1}{2} \) vào phương trình \( a + b = \frac{3}{2} \): \[ \frac{1}{2} + b = \frac{3}{2} \] \[ b = 1 \] Do đó: \[ \frac{1}{2x-y} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2x - y = 2 \] \[ x + 3y = 1 \] Giải hệ phương trình: \[ 2x - y = 2 \] \[ x + 3y = 1 \] Nhân phương trình thứ hai với 2: \[ 2x + 6y = 2 \] Trừ hai phương trình: \[ 7y = 0 \] \[ y = 0 \] Thay \( y = 0 \) vào phương trình \( x + 3y = 1 \): \[ x = 1 \] Do đó: \[ x = 1 \] \[ y = 0 \] Bài 5: Để giải các hệ phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Tuy nhiên, vì yêu cầu chỉ sử dụng các phép toán cơ bản như cộng, trừ và không sử dụng phương pháp đặt ẩn số, biến số hay phương pháp lập phương trình, hệ phương trình, nên mình sẽ hướng dẫn cách giải đơn giản nhất cho mỗi hệ phương trình. Hệ phương trình 1: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{2}{x+y} + \frac{1}{x-y} = 1 \\ \frac{10}{x+y} - \frac{3}{x-y} = 1 \end{array}\right. \] Bước 1: Đặt \( a = \frac{1}{x+y} \) và \( b = \frac{1}{x-y} \). Bước 2: Thay vào hệ phương trình: \[ \left\{\begin{array}{l} 2a + b = 1 \\ 10a - 3b = 1 \end{array}\right. \] Bước 3: Giải hệ phương trình mới: - Nhân phương trình thứ nhất với 3: \[ 6a + 3b = 3 \] - Cộng phương trình này với phương trình thứ hai: \[ 6a + 3b + 10a - 3b = 3 + 1 \] \[ 16a = 4 \] \[ a = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \] - Thay \( a = \frac{1}{4} \) vào phương trình thứ nhất: \[ 2 \cdot \frac{1}{4} + b = 1 \] \[ \frac{1}{2} + b = 1 \] \[ b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \] Bước 4: Tìm \( x \) và \( y \): \[ a = \frac{1}{x+y} = \frac{1}{4} \Rightarrow x + y = 4 \] \[ b = \frac{1}{x-y} = \frac{1}{2} \Rightarrow x - y = 2 \] Bước 5: Giải hệ phương trình tuyến tính: \[ \left\{\begin{array}{l} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{array}\right. \] Cộng hai phương trình: \[ 2x = 6 \] \[ x = 3 \] Thay \( x = 3 \) vào \( x + y = 4 \): \[ 3 + y = 4 \] \[ y = 1 \] Kết quả: \( x = 3 \), \( y = 1 \) Hệ phương trình 2: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{2}{x+y} + \frac{1}{x-y} = 3 \\ \frac{1}{x+y} - \frac{3}{x-y} = 1 \end{array}\right. \] Bước 1: Đặt \( a = \frac{1}{x+y} \) và \( b = \frac{1}{x-y} \). Bước 2: Thay vào hệ phương trình: \[ \left\{\begin{array}{l} 2a + b = 3 \\ a - 3b = 1 \end{array}\right. \] Bước 3: Giải hệ phương trình mới: - Nhân phương trình thứ hai với 2: \[ 2a - 6b = 2 \] - Trừ phương trình này từ phương trình thứ nhất: \[ 2a + b - (2a - 6b) = 3 - 2 \] \[ 7b = 1 \] \[ b = \frac{1}{7} \] - Thay \( b = \frac{1}{7} \) vào phương trình thứ hai: \[ a - 3 \cdot \frac{1}{7} = 1 \] \[ a - \frac{3}{7} = 1 \] \[ a = 1 + \frac{3}{7} = \frac{10}{7} \] Bước 4: Tìm \( x \) và \( y \): \[ a = \frac{1}{x+y} = \frac{10}{7} \Rightarrow x + y = \frac{7}{10} \] \[ b = \frac{1}{x-y} = \frac{1}{7} \Rightarrow x - y = 7 \] Bước 5: Giải hệ phương trình tuyến tính: \[ \left\{\begin{array}{l} x + y = \frac{7}{10} \\ x - y = 7 \end{array}\right. \] Cộng hai phương trình: \[ 2x = \frac{7}{10} + 7 \] \[ 2x = \frac{7}{10} + \frac{70}{10} \] \[ 2x = \frac{77}{10} \] \[ x = \frac{77}{20} \] Thay \( x = \frac{77}{20} \) vào \( x + y = \frac{7}{10} \): \[ \frac{77}{20} + y = \frac{7}{10} \] \[ y = \frac{7}{10} - \frac{77}{20} \] \[ y = \frac{14}{20} - \frac{77}{20} \] \[ y = \frac{-63}{20} \] Kết quả: \( x = \frac{77}{20} \), \( y = \frac{-63}{20} \) Hệ phương trình 3: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} = \frac{5}{8} \\ \frac{1}{x+y} - \frac{1}{x-y} = \frac{-3}{8} \end{array}\right. \] Bước 1: Đặt \( a = \frac{1}{x+y} \) và \( b = \frac{1}{x-y} \). Bước 2: Thay vào hệ phương trình: \[ \left\{\begin{array}{l} a + b = \frac{5}{8} \\ a - b = \frac{-3}{8} \end{array}\right. \] Bước 3: Giải hệ phương trình mới: - Cộng hai phương trình: \[ 2a = \frac{5}{8} + \frac{-3}{8} \] \[ 2a = \frac{2}{8} \] \[ a = \frac{1}{8} \] - Thay \( a = \frac{1}{8} \) vào phương trình thứ nhất: \[ \frac{1}{8} + b = \frac{5}{8} \] \[ b = \frac{5}{8} - \frac{1}{8} \] \[ b = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] Bước 4: Tìm \( x \) và \( y \): \[ a = \frac{1}{x+y} = \frac{1}{8} \Rightarrow x + y = 8 \] \[ b = \frac{1}{x-y} = \frac{1}{2} \Rightarrow x - y = 2 \] Bước 5: Giải hệ phương trình tuyến tính: \[ \left\{\begin{array}{l} x + y = 8 \\ x - y = 2 \end{array}\right. \] Cộng hai phương trình: \[ 2x = 10 \] \[ x = 5 \] Thay \( x = 5 \) vào \( x + y = 8 \): \[ 5 + y = 8 \] \[ y = 3 \] Kết quả: \( x = 5 \), \( y = 3 \)