$\sqrt[]{2+4\sqrt[]{7}}-\sqrt[]{2-4\sqrt[]{7}}$

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định biểu thức cần tính: \[ \sqrt{2 + 4\sqrt{7}} - \sqrt{2 - 4\sqrt{7}} \] 2. Đặt \( A = \sqrt{2 + 4\sqrt{7}} - \sqrt{2 - 4\sqrt{7}} \). 3. Bình phương cả hai vế để đơn giản hóa: \[ A^2 = \left( \sqrt{2 + 4\sqrt{7}} - \sqrt{2 - 4\sqrt{7}} \right)^2 \] 4. Sử dụng công thức bình phương của hiệu hai số: \[ A^2 = \left( \sqrt{2 + 4\sqrt{7}} \right)^2 - 2 \cdot \sqrt{2 + 4\sqrt{7}} \cdot \sqrt{2 - 4\sqrt{7}} + \left( \sqrt{2 - 4\sqrt{7}} \right)^2 \] 5. Rút gọn các phần tử: \[ A^2 = (2 + 4\sqrt{7}) - 2 \cdot \sqrt{(2 + 4\sqrt{7})(2 - 4\sqrt{7})} + (2 - 4\sqrt{7}) \] 6. Tính tích trong căn bậc hai: \[ (2 + 4\sqrt{7})(2 - 4\sqrt{7}) = 2^2 - (4\sqrt{7})^2 = 4 - 16 \cdot 7 = 4 - 112 = -108 \] 7. Thay vào biểu thức: \[ A^2 = 2 + 4\sqrt{7} - 2 \cdot \sqrt{-108} + 2 - 4\sqrt{7} \] 8. Kết hợp các hạng tử giống nhau: \[ A^2 = 4 - 2 \cdot \sqrt{-108} \] 9. Vì \(\sqrt{-108}\) không tồn tại trong tập số thực, ta thấy rằng biểu thức ban đầu không thể tính trực tiếp trong tập số thực. Tuy nhiên, nếu xét trong tập số phức, ta có: \[ \sqrt{-108} = i \cdot \sqrt{108} = i \cdot 6\sqrt{3} \] 10. Thay vào biểu thức: \[ A^2 = 4 - 2 \cdot i \cdot 6\sqrt{3} = 4 - 12i\sqrt{3} \] 11. Do đó, \(A\) là một số phức: \[ A = \sqrt{4 - 12i\sqrt{3}} \] Tuy nhiên, trong phạm vi kiến thức lớp 9, chúng ta chỉ xét các phép toán trong tập số thực. Vì vậy, biểu thức này không thể tính trực tiếp trong tập số thực. Đáp án cuối cùng: \[ \boxed{\text{Biểu thức không thể tính trực tiếp trong tập số thực.}} \]