cho điểm a nằm ngoài đường tròn (o),kẻ tiêp tuyến am,an với (o) (m,n là các tiếp điểm)a,c/m oa là đường trung trực của mn

Question

Timi · Accepted Answer

Để chứng minh rằng $OA$ là đường trung trực của $MN$, ta cần chứng minh hai điều sau:

1. $OA$ vuông góc với $MN$.
2. $OA$ đi qua trung điểm của $MN$.

Bước 1: Chứng minh $OA$ vuông góc với $MN$

- Vì $AM$ và $AN$ là các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $M$ và $N$, nên $OM$ vuông góc với $AM$ và $ON$ vuông góc với $AN$.
- Do đó, các góc $\angle OMA$ và $\angle ONA$ đều bằng $90^\circ$.
- Xét tứ giác $OMAN$, ta có:
  $$
  \angle OMA + \angle ONA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
  $$
  Điều này chứng tỏ $OMAN$ là tứ giác nội tiếp đường tròn.
- Theo tính chất của tứ giác nội tiếp, ta có:
  $$
  \angle OMA + \angle ONA = 180^\circ
  $$
  Điều này cũng có nghĩa là $OA$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $OMAN$, do đó $OA$ vuông góc với $MN$.

Bước 2: Chứng minh $OA$ đi qua trung điểm của $MN$

- Vì $AM = AN$ (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau từ một điểm ngoài đường tròn), nên tam giác $AMN$ là tam giác cân tại $A$.
- Gọi $I$ là trung điểm của $MN$. Trong tam giác cân $AMN$, đường trung tuyến $AI$ cũng là đường cao, do đó $AI$ vuông góc với $MN$.
- Từ bước 1, ta đã chứng minh $OA$ vuông góc với $MN$, và từ tính chất của tam giác cân, $AI$ cũng vuông góc với $MN$.
- Do đó, $O$, $A$, và $I$ thẳng hàng, tức là $OA$ đi qua trung điểm $I$ của $MN$.

Kết luận: $OA$ là đường trung trực của $MN$.