Giúp tôi với

Câu 1: Để xác định khẳng định nào đúng, chúng ta cần phân tích từng lựa chọn một cách chi tiết. A. \(\sin 90^\circ < \sin 100^\circ\) - \(\sin 90^\circ = 1\). - \(\sin 100^\circ\) nằm trong góc phần tư thứ II, nơi mà giá trị của \(\sin\) giảm dần từ 1 đến 0 khi góc tăng từ \(90^\circ\) đến \(180^\circ\). - Do đó, \(\sin 100^\circ < 1\). Vậy, khẳng định A là sai. B. \(\cos 95^\circ > \cos 100^\circ\) - Cả \(\cos 95^\circ\) và \(\cos 100^\circ\) đều nằm trong góc phần tư thứ II, nơi mà giá trị của \(\cos\) là âm và giảm dần khi góc tăng từ \(90^\circ\) đến \(180^\circ\). - Vì \(95^\circ < 100^\circ\), nên \(\cos 95^\circ > \cos 100^\circ\). Vậy, khẳng định B là đúng. C. \(\tan 85^\circ < \tan 125^\circ\) - \(\tan 85^\circ\) nằm trong góc phần tư thứ I, nơi mà giá trị của \(\tan\) tăng dần từ 0 đến \(\infty\) khi góc tăng từ \(0^\circ\) đến \(90^\circ\). - \(\tan 125^\circ\) nằm trong góc phần tư thứ II, nơi mà giá trị của \(\tan\) là âm. - Do đó, \(\tan 85^\circ > \tan 125^\circ\). Vậy, khẳng định C là sai. D. \(\cos 145^\circ > \cos 125^\circ\) - Cả \(\cos 145^\circ\) và \(\cos 125^\circ\) đều nằm trong góc phần tư thứ II, nơi mà giá trị của \(\cos\) là âm và giảm dần khi góc tăng từ \(90^\circ\) đến \(180^\circ\). - Vì \(145^\circ > 125^\circ\), nên \(\cos 145^\circ < \cos 125^\circ\). Vậy, khẳng định D là sai. Tóm lại, khẳng định đúng là B. \(\cos 95^\circ > \cos 100^\circ\). Câu 2: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích dấu của các hàm lượng giác trong góc phần tư thứ II, tức là khi $\alpha \in (90^\circ; 180^\circ)$. 1. Dấu của $\sin\alpha$: - Trong góc phần tư thứ II, $\sin\alpha$ dương vì trục tung (trục $y$) là dương. 2. Dấu của $\cos\alpha$: - Trong góc phần tư thứ II, $\cos\alpha$ âm vì trục hoành (trục $x$) là âm. 3. Dấu của $\tan\alpha$ và $\cot\alpha$: - $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Vì $\sin\alpha$ dương và $\cos\alpha$ âm, nên $\tan\alpha$ âm. - $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Vì $\cos\alpha$ âm và $\sin\alpha$ dương, nên $\cot\alpha$ âm. Bây giờ, ta xét từng khẳng định: A. $\sin\alpha$ và $\cot\alpha$ cùng dấu: - $\sin\alpha$ dương, $\cot\alpha$ âm. Vậy khẳng định này sai. B. Tích $\sin\alpha \cdot \cot\alpha$ mang dấu âm: - $\sin\alpha$ dương, $\cot\alpha$ âm. Tích của một số dương và một số âm là âm. Vậy khẳng định này đúng. C. Tích $\sin\alpha \cdot \cos\alpha$ mang dấu dương: - $\sin\alpha$ dương, $\cos\alpha$ âm. Tích của một số dương và một số âm là âm. Vậy khẳng định này sai. D. $\sin\alpha$ và $\tan\alpha$ cùng dấu: - $\sin\alpha$ dương, $\tan\alpha$ âm. Vậy khẳng định này sai. Kết luận: Khẳng định đúng là B. Tích $\sin\alpha \cdot \cot\alpha$ mang dấu âm. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các công thức lượng giác cơ bản liên quan đến góc phụ. Cụ thể, các công thức cần nhớ là: 1. \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha\) 2. \(\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha\) 3. \(\tan(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha\) 4. \(\cot(90^\circ - \alpha) = \tan\alpha\) Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. \(\cot(90^\circ - \alpha) = -\tan\alpha\) Theo công thức đã nêu, \(\cot(90^\circ - \alpha) = \tan\alpha\). Do đó, khẳng định A là sai. B. \(\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha\) Theo công thức đã nêu, \(\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha\). Do đó, khẳng định B là đúng. C. \(\sin(90^\circ - \alpha) = -\cos\alpha\) Theo công thức đã nêu, \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha\). Do đó, khẳng định C là sai. D. \(\tan(90^\circ - \alpha) = -\cot\alpha\) Theo công thức đã nêu, \(\tan(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha\). Do đó, khẳng định D là sai. Kết luận: Khẳng định đúng là B. \(\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha\). Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản đã được học ở lớp 10. 1. Xét đáp án A: $\sin(180^\circ - \alpha) = -\sin\alpha$ - Theo công thức lượng giác, ta biết rằng $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$. - Do đó, đáp án A sai vì $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, không phải $-\sin\alpha$. 2. Xét đáp án B: $\cos(180^\circ - \alpha) = \cos\alpha$ - Theo công thức lượng giác, ta biết rằng $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$. - Do đó, đáp án B sai vì $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$, không phải $\cos\alpha$. 3. Xét đáp án C: $\tan(180^\circ - \alpha) = \tan\alpha$ - Ta biết rằng $\tan(180^\circ - \alpha) = \frac{\sin(180^\circ - \alpha)}{\cos(180^\circ - \alpha)} = \frac{\sin\alpha}{-\cos\alpha} = -\tan\alpha$. - Do đó, đáp án C sai vì $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha$, không phải $\tan\alpha$. 4. Xét đáp án D: $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot\alpha$ - Ta biết rằng $\cot(180^\circ - \alpha) = \frac{\cos(180^\circ - \alpha)}{\sin(180^\circ - \alpha)} = \frac{-\cos\alpha}{\sin\alpha} = -\cot\alpha$. - Do đó, đáp án D đúng vì $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot\alpha$. Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot\alpha \] Câu 5: Để xác định khẳng định nào là sai, chúng ta cần xem xét từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định A: \(\cos\alpha < \cos\beta\) - Với hai góc nhọn \(\alpha\) và \(\beta\) mà \(\alpha < \beta\), trên nửa đường tròn đơn vị, giá trị của \(\cos\) sẽ giảm khi góc tăng. Do đó, \(\cos\alpha > \cos\beta\). - Vậy khẳng định A là sai. Khẳng định B: \(\sin\alpha < \sin\beta\) - Với hai góc nhọn \(\alpha\) và \(\beta\) mà \(\alpha < \beta\), trên nửa đường tròn đơn vị, giá trị của \(\sin\) sẽ tăng khi góc tăng. Do đó, \(\sin\alpha < \sin\beta\). - Vậy khẳng định B là đúng. Khẳng định C: \(\tan\alpha + \tan\beta > 0\) - Với hai góc nhọn \(\alpha\) và \(\beta\), \(\tan\alpha > 0\) và \(\tan\beta > 0\) vì \(\tan\) của góc nhọn luôn dương. - Do đó, \(\tan\alpha + \tan\beta > 0\). - Vậy khẳng định C là đúng. Khẳng định D: \(\cot\alpha > \cot\beta\) - Với hai góc nhọn \(\alpha\) và \(\beta\) mà \(\alpha < \beta\), \(\cot\) sẽ giảm khi góc tăng. Do đó, \(\cot\alpha > \cot\beta\). - Vậy khẳng định D là đúng. Tóm lại, khẳng định sai là khẳng định A: \(\cos\alpha < \cos\beta\). Câu 6: Để tính \(\cot\alpha\) khi biết \(\tan\alpha = \frac{1}{2}\), ta sử dụng mối quan hệ giữa \(\tan\alpha\) và \(\cot\alpha\). Ta có: \[ \cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} \] Thay giá trị \(\tan\alpha = \frac{1}{2}\) vào công thức trên: \[ \cot\alpha = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\cot\alpha = 2 \] Câu 7: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác. Phần 1: Tìm độ dài cạnh \( a \) Cho tam giác \( \Delta ABC \) với \( b = 6 \), \( c = 8 \), và \( \widehat{A} = 60^\circ \). Chúng ta cần tìm độ dài cạnh \( a \). Theo định lý cosin, ta có: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] Với \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), ta thay vào công thức: \[ a^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \times 6 \times 8 \times \frac{1}{2} \] Tính toán: \[ a^2 = 36 + 64 - 48 \] \[ a^2 = 52 \] Do đó, độ dài cạnh \( a \) là: \[ a = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \] Vậy, độ dài cạnh \( a \) là \( 2\sqrt{13} \). Đáp án đúng là \( A. ~ 2\sqrt{13} \). Phần 2: Tìm giá trị \( \cos B \) Cho tam giác \( \Delta ABC \) với \( AB = 4 \, \text{cm}, BC = 7 \, \text{cm}, AC = 9 \, \text{cm} \). Chúng ta cần tìm giá trị \( \cos B \). Theo định lý cosin, ta có: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos B \] Thay các giá trị vào: \[ 9^2 = 4^2 + 7^2 - 2 \times 4 \times 7 \cdot \cos B \] Tính toán: \[ 81 = 16 + 49 - 56 \cdot \cos B \] \[ 81 = 65 - 56 \cdot \cos B \] Giải phương trình: \[ 56 \cdot \cos B = 65 - 81 \] \[ 56 \cdot \cos B = -16 \] \[ \cos B = -\frac{16}{56} = -\frac{2}{7} \] Vậy, giá trị \( \cos B \) là \( -\frac{2}{7} \).