Tìm số nguyên x, sao cho $x^2+x-p=0$ với p là số nguyên tố.

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \( \Delta = 1 + 4p \geq 0 \) Ta có \( x^2 + x - p = 0 \Leftrightarrow x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4p}}{2} \) Vì \( x \in \mathbb{Z} \) nên \( \sqrt{1 + 4p} \in \mathbb{Z} \) Đặt \( \sqrt{1 + 4p} = t \) với \( t \in \mathbb{Z}, t \geq 0 \) Ta có \( 1 + 4p = t^2 \Leftrightarrow 4p = t^2 - 1 \Leftrightarrow 4p = (t - 1)(t + 1) \) Vì \( p \) là số nguyên tố nên \( t - 1 \) hoặc \( t + 1 \) là ước của 4. Xét các trường hợp: - Nếu \( t - 1 = 1 \) thì \( t = 2 \) và \( p = \frac{(2 - 1)(2 + 1)}{4} = \frac{3}{4} \) (loại) - Nếu \( t - 1 = 2 \) thì \( t = 3 \) và \( p = \frac{(3 - 1)(3 + 1)}{4} = 2 \) (thỏa mãn) - Nếu \( t - 1 = 4 \) thì \( t = 5 \) và \( p = \frac{(5 - 1)(5 + 1)}{4} = 6 \) (loại) Vậy \( p = 2 \) và \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \) Do đó, \( x = 1 \) hoặc \( x = -2 \)