Giải phương trình: $\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+2x-3}$.

Điều kiện xác định: \( x \geq 2 \) Ta có: \[ \sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+2x-3} \] Nhận thấy rằng \( x^2-3x+2 = (x-1)(x-2) \) và \( x^2+2x-3 = (x+3)(x-1) \). Do đó, ta có thể viết lại phương trình dưới dạng: \[ \sqrt{(x-1)(x-2)}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{(x+3)(x-1)} \] Chuyển vế và nhóm các hạng tử giống nhau: \[ \sqrt{(x-1)(x-2)} - \sqrt{(x+3)(x-1)} = \sqrt{x-2} - \sqrt{x+3} \] Nhân cả hai vế với \( \sqrt{(x-1)(x-2)} + \sqrt{(x+3)(x-1)} \): \[ (x-1)(x-2) - (x+3)(x-1) = (\sqrt{x-2} - \sqrt{x+3})(\sqrt{(x-1)(x-2)} + \sqrt{(x+3)(x-1)}) \] Rút gọn vế trái: \[ (x-1)[(x-2)-(x+3)] = (\sqrt{x-2} - \sqrt{x+3})(\sqrt{(x-1)(x-2)} + \sqrt{(x+3)(x-1)}) \] \[ (x-1)(-5) = (\sqrt{x-2} - \sqrt{x+3})(\sqrt{(x-1)(x-2)} + \sqrt{(x+3)(x-1)}) \] Chia cả hai vế cho \( \sqrt{(x-1)(x-2)} + \sqrt{(x+3)(x-1)} \): \[ -5(x-1) = \sqrt{x-2} - \sqrt{x+3} \] Bình phương cả hai vế: \[ 25(x-1)^2 = (\sqrt{x-2} - \sqrt{x+3})^2 \] \[ 25(x^2-2x+1) = x-2 - 2\sqrt{(x-2)(x+3)} + x+3 \] \[ 25x^2-50x+25 = 2x+1 - 2\sqrt{(x-2)(x+3)} \] Chuyển vế và rút gọn: \[ 25x^2-52x+24 = -2\sqrt{(x-2)(x+3)} \] Bình phương cả hai vế: \[ (25x^2-52x+24)^2 = 4(x-2)(x+3) \] \[ 625x^4-2600x^3+3364x^2-1248x+576 = 4(x^2+x-6) \] \[ 625x^4-2600x^3+3364x^2-1248x+576 = 4x^2+4x-24 \] Chuyển vế và rút gọn: \[ 625x^4-2600x^3+3360x^2-1252x+600 = 0 \] Phương trình này có nghiệm \( x = 2 \) hoặc \( x = 3 \). Kiểm tra các nghiệm: - Với \( x = 2 \): \( \sqrt{2^2-3 \cdot 2+2}+\sqrt{2+3}=\sqrt{2-2}+\sqrt{2^2+2 \cdot 2-3} \) \( \sqrt{0}+\sqrt{5}=\sqrt{0}+\sqrt{5} \) Đúng. - Với \( x = 3 \): \( \sqrt{3^2-3 \cdot 3+2}+\sqrt{3+3}=\sqrt{3-2}+\sqrt{3^2+2 \cdot 3-3} \) \( \sqrt{2}+\sqrt{6}=\sqrt{1}+\sqrt{12} \) Sai. Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 2 \).