Giúp mình với! DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ,Bài 21. Cho dãy số $C=3^1+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7+3^8+3^9$,1) Rút gọn C 2) Tính $2C+3$,3) Chứng minh $2C+3$ là một số chính phương.,4) Chứng minh $2C+3\vdots3^4.$ 5) So sánh 2C với $3^{10}$,6) Tìm các số tự nhiên x biết $2C+3=3^{x+8}$ 7) Chứng minh $C\vdots13$,Bài 22. Cho dãy số $C=3^0+3^1+3^2+...+3^{98}+3^{99}$,1) Rút gọn C 2) Tính $2C+1$,3) Chứng minh $2C+1$ là một số chính phương.,4) Chứng minh $2C+1\vdots81.$ 5) So sánh 2C với $3^{100}$,6) Tìm các số tự nhiên x biết $2C+1=3^{x-5}$ 7) Chứng minh $C\vdots4$,Bài 23. Cho dãy số $C=5^0+5^1+5^2+...+5^{98}+5^{99}$,1) Rút gọn C 2) Tính $4C+1$,3) Chứng minh $4C+1$ là một số chính phương.,4) Chứng minh $4C+1\vdots25.$ 5) So sánh 4C với $5^{100}$,6) Tìm các số tự nhiên x biết $4C+1=5^{x-5}$ 7) Chứng minh $C\vdots3$

Question

Accepted Answer

Bài 21:
1) Ta thấy rằng $C=3^1+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7+3^8+3^9$
Ta có $3C=3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7+3^8+3^9+3^{10}$
Do đó $3C-C=(3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7+3^8+3^9+3^{10})-(3^1+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7+3^8+3^9)$
Hay $2C=3^{10}-3^1$
Suy ra $C=\frac{3^{10}-3^1}{2}$
2) Ta có $2C+3=2	imes \frac{3^{10}-3^1}{2}+3=3^{10}-3^1+3=3^{10}$
3) Ta có $2C+3=3^{10}=3^5	imes 3^5=(3^5)^2$. Vậy $2C+3$ là một số chính phương.
4) Ta có $2C+3=3^{10}=3^4	imes 3^6$. Vậy $2C+3$ chia hết cho $3^4$.
5) Ta có $2C+3=3^{10}$. Do đó $2C<3^{10}$.
6) Ta có $2C+3=3^{10}$. Suy ra $3^{10}=3^{x+8}$. Do đó $x+8=10$. Suy ra $x=2$.
7) Ta có $C=\frac{3^{10}-3^1}{2}=\frac{3(3^9-1)}{2}$. Ta có $3^9-1=19682$ chia hết cho 13. Do đó $C$ chia hết cho 13.

Bài 22:
1) Ta có $C=3^0+3^1+3^2+...+3^{98}+3^{99}$
Nhân cả hai vế với 3 ta được $3C=3^1+3^2+3^3+...+3^{99}+3^{100}$
Lấy $3C-C$ ta được $2C=3^{100}-3^0$
Hay $2C=3^{100}-1$
Suy ra $C=\frac{3^{100}-1}{2}$
2) Ta có $2C+1=3^{100}-1+1=3^{100}$
3) Ta có $2C+1=3^{100}=3^{2	imes 50}=9^{50}=(3^2)^{50}=3^{100}$
Vậy $2C+1$ là một số chính phương.
4) Ta có $2C+1=3^{100}=3^{4	imes 25}=81^{25}$
Vậy $2C+1$ chia hết cho 81.
5) Ta có $2C=3^{100}-1<3^{100}$
Vậy $2C<3^{100}$
6) Ta có $2C+1=3^{100}=3^{x-5}$
Suy ra $100=x-5$
Vậy $x=105$
7) Ta có $C=\frac{3^{100}-1}{2}$
Ta thấy $3^{100}$ tận cùng là 1 nên $3^{100}-1$ tận cùng là 0
Do đó $3^{100}-1$ chia hết cho 4
Vậy $C$ chia hết cho 4.

Bài 23:
1) Ta có $C=5^0+5^1+5^2+...+5^{98}+5^{99}$
Nhân cả hai vế với 5 ta được $5C=5^1+5^2+5^3+...+5^{99}+5^{100}$
Lấy $5C-C$ ta được $4C=5^{100}-1$
Suy ra $C=\frac{5^{100}-1}{4}$
2) Ta có $4C+1=5^{100}-1+1=5^{100}$
3) Ta có $4C+1=5^{100}=5^{50	imes2}=(5^{50})^2$
Vậy $4C+1$ là một số chính phương.
4) Ta có $4C+1=5^{100}=5^{2	imes50}=(5^2)^{50}=25^{50}\vdots25$
5) Ta có $4C+1=5^{100}$
Suy ra $4C<4C+1=5^{100}$
6) Ta có $4C+1=5^{100}=5^{x-5}$
Suy ra $100=x-5$
Suy ra $x=105$
7) Ta có $C=\frac{5^{100}-1}{4}$
Ta thấy $5^{100}\equiv1(	ext{mod }3)$
Suy ra $5^{100}-1\equiv0(	ext{mod }3)$
Suy ra $\frac{5^{100}-1}{4}\equiv0(	ext{mod }3)$
Vậy $C\vdots3$