Giup mik vs

Câu 1: Để tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), ta sử dụng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\|\overrightarrow{a}\| \cdot \|\overrightarrow{b}\|} \] Bước 1: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\). \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 1 = -2 - 2 + 1 = -3 \] Bước 2: Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). \[ \|\overrightarrow{a}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] \[ \|\overrightarrow{b}\| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] Bước 3: Thay vào công thức tính \(\cos \theta\). \[ \cos \theta = \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] Bước 4: Tìm góc \(\theta\). Vì \(\cos \theta = -\frac{1}{2}\), nên \(\theta = 120^\circ\). Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(120^\circ\). Đáp án đúng là \(B.~120^\circ\). Câu 2: Để tìm điểm cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số \( y = -x^3 + 4x^2 - 5x + 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 4x^2 - 5x + 1) = -3x^2 + 8x - 5 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ -3x^2 + 8x - 5 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai. Chúng ta sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = -3 \), \( b = 8 \), và \( c = -5 \): \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(-3)(-5)}}{2(-3)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 60}}{-6} = \frac{-8 \pm \sqrt{4}}{-6} = \frac{-8 \pm 2}{-6} \] Từ đó, ta có: \[ x_1 = \frac{-8 + 2}{-6} = \frac{-6}{-6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-8 - 2}{-6} = \frac{-10}{-6} = \frac{5}{3} \] 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm bậc hai hoặc so sánh giá trị hàm số tại các điểm này: - Tính đạo hàm bậc hai: \[ y'' = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 8x - 5) = -6x + 8 \] - Kiểm tra dấu của \( y'' \) tại \( x = 1 \) và \( x = \frac{5}{3} \): \[ y''(1) = -6(1) + 8 = 2 > 0 \quad \text{(hàm số có điểm cực tiểu tại \( x = 1 \))} \] \[ y''\left(\frac{5}{3}\right) = -6\left(\frac{5}{3}\right) + 8 = -10 + 8 = -2 < 0 \quad \text{(hàm số có điểm cực đại tại \( x = \frac{5}{3} \))} \] 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn: - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = -(1)^3 + 4(1)^2 - 5(1) + 1 = -1 + 4 - 5 + 1 = -1 \] - Tại \( x = \frac{5}{3} \): \[ y\left(\frac{5}{3}\right) = -\left(\frac{5}{3}\right)^3 + 4\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{3}\right) + 1 \] \[ = -\frac{125}{27} + \frac{100}{9} - \frac{25}{3} + 1 \] \[ = -\frac{125}{27} + \frac{300}{27} - \frac{225}{27} + \frac{27}{27} \] \[ = \frac{-125 + 300 - 225 + 27}{27} = \frac{77}{27} \] 5. Xác định giá trị của \( a \) và \( b \): - Điểm cực đại \( a = \frac{5}{3} \) - Giá trị cực tiểu \( b = -1 \) 6. Tính giá trị của biểu thức \( a - b \): \[ a - b = \frac{5}{3} - (-1) = \frac{5}{3} + 1 = \frac{5}{3} + \frac{3}{3} = \frac{8}{3} \] Vậy giá trị của biểu thức \( a - b \) là \( \frac{8}{3} \). Đáp án: \( D. \frac{8}{3} \). Câu 3: Để tìm tọa độ trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( BC \), ta cần sử dụng thông tin đã cho và các tính chất của vectơ. Bước 1: Tìm tọa độ của \( B \) và \( C \) Giả sử tọa độ của \( B \) là \( (x_1, y_1, z_1) \) và tọa độ của \( C \) là \( (x_2, y_2, z_2) \). Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (x_1 - 1, y_1 - 1, z_1 - 1) \] \[ \overrightarrow{AC} = (x_2 - 1, y_2 - 1, z_2 - 1) \] Theo đề bài, ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (4, 0, -6) \] Suy ra: \[ (x_1 - 1) + (x_2 - 1) = 4 \quad \Rightarrow \quad x_1 + x_2 = 6 \] \[ (y_1 - 1) + (y_2 - 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad y_1 + y_2 = 2 \] \[ (z_1 - 1) + (z_2 - 1) = -6 \quad \Rightarrow \quad z_1 + z_2 = -4 \] Bước 2: Tìm tọa độ trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( BC \) Tọa độ trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( BC \) được tính theo công thức: \[ M \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) \] Thay các giá trị đã tìm được vào, ta có: \[ M \left( \frac{6}{2}, \frac{2}{2}, \frac{-4}{2} \right) = (3, 1, -2) \] Vậy tọa độ trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( BC \) là \( (3, 1, -2) \). Kết luận: Đáp án đúng là \( D.~(3;1;-2) \). Câu 4: Để xác định điểm cực đại của hàm số dựa vào bảng biến thiên, ta cần xem xét sự thay đổi của đạo hàm \( y' \). 1. Quan sát bảng biến thiên: - Tại \( x = 1 \), dấu của \( y' \) chuyển từ dương sang âm. Điều này cho thấy hàm số chuyển từ tăng sang giảm, do đó \( x = 1 \) là điểm cực đại. 2. Kết luận: - Điểm cực đại của hàm số là tại \( x = 1 \). Vậy đáp án đúng là \( A.~x=1. \) Câu 5: Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) = (x^2 - 4)(3 - x)(x + 2) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các nghiệm của đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = (x^2 - 4)(3 - x)(x + 2) \] Ta thấy rằng \( f'(x) = 0 \) khi: \[ (x^2 - 4) = 0 \quad \text{hoặc} \quad (3 - x) = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x + 2) = 0 \] Giải các phương trình này: \[ x^2 - 4 = 0 \implies x = \pm 2 \] \[ 3 - x = 0 \implies x = 3 \] \[ x + 2 = 0 \implies x = -2 \] Vậy các nghiệm của \( f'(x) \) là \( x = -2, 2, 3 \). 2. Xác định dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng xác định: Ta sẽ xét dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \), \( (2, 3) \), và \( (3, \infty) \). - Khoảng \( (-\infty, -2) \): Chọn \( x = -3 \): \[ f'(-3) = ((-3)^2 - 4)(3 - (-3))((-3) + 2) = (9 - 4)(6)(-1) = 5 \cdot 6 \cdot (-1) = -30 \quad (\text{âm}) \] - Khoảng \( (-2, 2) \): Chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = (0^2 - 4)(3 - 0)(0 + 2) = (-4)(3)(2) = -24 \quad (\text{âm}) \] - Khoảng \( (2, 3) \): Chọn \( x = 2.5 \): \[ f'(2.5) = ((2.5)^2 - 4)(3 - 2.5)(2.5 + 2) = (6.25 - 4)(0.5)(4.5) = 2.25 \cdot 0.5 \cdot 4.5 = 5.0625 \quad (\text{dương}) \] - Khoảng \( (3, \infty) \): Chọn \( x = 4 \): \[ f'(4) = (4^2 - 4)(3 - 4)(4 + 2) = (16 - 4)(-1)(6) = 12 \cdot (-1) \cdot 6 = -72 \quad (\text{âm}) \] 3. Xác định các điểm cực trị: - Tại \( x = -2 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương (không đổi dấu). - Tại \( x = 2 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương. - Tại \( x = 3 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm. Do đó, hàm số có hai điểm cực trị tại \( x = 2 \) và \( x = 3 \). Kết luận: Số điểm cực trị của hàm số là 2. Đáp án: A. 2. Câu 6: Để tìm điểm \( B \) đối xứng với điểm \( A(-5; 2; 3) \) qua trục \( Oy \), ta cần xác định tọa độ của \( B \). Khi một điểm đối xứng qua trục \( Oy \), tọa độ \( y \) của điểm đó không thay đổi, trong khi tọa độ \( x \) và \( z \) sẽ đổi dấu. Do đó, tọa độ của điểm \( B \) sẽ là \( (5; 2; -3) \). Bây giờ, ta tính độ dài đoạn thẳng \( AB \) bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \] Thay tọa độ của \( A \) và \( B \) vào công thức: \[ AB = \sqrt{(5 - (-5))^2 + (2 - 2)^2 + (-3 - 3)^2} \] \[ = \sqrt{(5 + 5)^2 + 0^2 + (-6)^2} \] \[ = \sqrt{10^2 + 0 + 6^2} \] \[ = \sqrt{100 + 36} \] \[ = \sqrt{136} \] \[ = 2\sqrt{34} \] Vậy độ dài đoạn thẳng \( AB \) là \( 2\sqrt{34} \). Do đó, đáp án đúng là \( C.~2\sqrt{34} \). Câu 7: Để xác định số lượng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = f(x) \), ta cần xem xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \). Dựa vào bảng biến thiên: 1. Khi \( x \to -\infty \), ta thấy \( y \to -2 \). 2. Khi \( x \to +\infty \), ta thấy \( y \to 2 \). Như vậy, hàm số có hai tiệm cận ngang là \( y = -2 \) và \( y = 2 \). Vậy, đáp án đúng là C. 2. Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính xác suất của biến cố "Cả hai lần bắn đều không trúng đích". Bước 1: Xác định xác suất không trúng đích của mỗi viên đạn. - Xác suất trúng đích của viên đạn thứ nhất là 0,8, do đó xác suất không trúng đích của viên đạn thứ nhất là: \[ P(\text{không trúng đích}_1) = 1 - 0,8 = 0,2 \] - Xác suất trúng đích của viên đạn thứ hai là 0,7, do đó xác suất không trúng đích của viên đạn thứ hai là: \[ P(\text{không trúng đích}_2) = 1 - 0,7 = 0,3 \] Bước 2: Tính xác suất của biến cố "Cả hai lần bắn đều không trúng đích". - Vì kết quả các lần bắn là độc lập với nhau, nên xác suất của biến cố "Cả hai lần bắn đều không trúng đích" là tích của xác suất không trúng đích của từng viên đạn: \[ P(\text{cả hai lần bắn đều không trúng đích}) = P(\text{không trúng đích}_1) \times P(\text{không trúng đích}_2) \] \[ P(\text{cả hai lần bắn đều không trúng đích}) = 0,2 \times 0,3 = 0,06 \] Vậy xác suất của biến cố "Cả hai lần bắn đều không trúng đích" là 0,06. Đáp án đúng là: B. 0,06.