Khúc sông rộng 200m. Một chiếc thuyền chèo qua sông với vận tốc 15km/h theo phương vuông góc với bờ sông. Biết vận tốc nc chảy là 3km/h. Một lần khác thuyền muốn đến bờ bên kia tại điểm cách điểm đến t...

Bài toán cho biết: - Chiều rộng sông \( d = 200 \, m \) - Vận tốc thuyền so với nước khi chèo vuông góc bờ: \( v_{ct} = 15 \, km/h \) - Vận tốc nước chảy: \( v_n = 3 \, km/h \) - Lần thứ hai, thuyền muốn đến điểm cách điểm trước theo phương vuông góc với bờ 50m. Ta cần tìm vận tốc chèo của thuyền \( v_{ct2} \) để thuyền đến điểm cách điểm đầu tiên 50m theo phương vuông góc bờ. --- ### Bước 1: Đổi đơn vị vận tốc sang m/s \[ 1 \, km/h = \frac{1000}{3600} = \frac{5}{18} \, m/s \] Do đó: \[ v_{ct} = 15 \times \frac{5}{18} = \frac{75}{18} = 4.17 \, m/s \] \[ v_n = 3 \times \frac{5}{18} = \frac{15}{18} = 0.833 \, m/s \] --- ### Bước 2: Phân tích chuyển động lần đầu (chéo vuông góc bờ) - Thuyền chèo vuông góc bờ, tức vận tốc thuyền so với nước theo phương ngang sông là 0. - Vận tốc thuyền thực tế sẽ là tổng vector của vận tốc chèo (vuông góc bờ) và vận tốc nước chảy (theo dòng sông). Vì vận tốc chèo thẳng góc bờ nên vận tốc thuyền thực có hướng xiên. --- ### Bước 3: Lần thứ hai: thuyền muốn đến điểm cách điểm trước 50m theo phương ngang bờ Giả sử phương ngang bờ là trục x, phương vuông góc bờ là trục y. - Vận tốc nước chảy \( \vec{v_n} = v_n \hat{i} \) (theo trục x) - Vận tốc chèo thuyền so với nước \( \vec{v_{ct2}} \) có độ lớn \( v_{ct2} \), hướng nghiêng một góc \( \alpha \) so với trục y để bù trừ cho vận tốc nước chảy. Ta đặt: \[ \vec{v_{ct2}} = v_{ct2} (\sin \alpha \hat{i} + \cos \alpha \hat{j}) \] Vận tốc thuyền thực tế: \[ \vec{v} = \vec{v_n} + \vec{v_{ct2}} = (v_n + v_{ct2} \sin \alpha) \hat{i} + (v_{ct2} \cos \alpha) \hat{j} \] --- ### Bước 4: Tính thời gian sang sông Chiều rộng sông \( d = 200 \, m \) theo phương y. Thời gian thuyền sang sông là: \[ t = \frac{d}{v_y} = \frac{200}{v_{ct2} \cos \alpha} \] --- ### Bước 5: Tính dịch chuyển theo phương ngang bờ Trong thời gian \( t \), thuyền bị dịch chuyển theo trục x là: \[ x = (v_n + v_{ct2} \sin \alpha) \times t = (v_n + v_{ct2} \sin \alpha) \frac{200}{v_{ct2} \cos \alpha} \] Ở lần chèo đầu tiên, thuyền chèo vuông góc nên: \[ v_{ct1} = 4.17 \, m/s, \quad \alpha = 0^\circ \Rightarrow \sin 0 = 0, \cos 0 = 1 \] Thời gian lần 1: \[ t_1 = \frac{200}{4.17} = 47.96 \, s \] Dịch chuyển theo x lần 1: \[ x_1 = v_n \times t_1 = 0.833 \times 47.96 = 40 \, m \] --- ### Bước 6: Lần 2: muốn đến điểm cách điểm đến lần 1 theo phương ngang 50m Điều này có nghĩa: \[ x = x_1 + 50 = 40 + 50 = 90 \, m \] Do đó: \[ (v_n + v_{ct2} \sin \alpha) \frac{200}{v_{ct2} \cos \alpha} = 90 \] --- ### Bước 7: Tính góc \(\alpha\) Góc \(\alpha\) là góc giữa vận tốc chèo và trục y. Ta có thể chọn \(\alpha\) để thuyền chèo chéo nhằm bù trừ dòng chảy. Cách tính hợp lý là thuyền chèo theo hướng xiên sao cho vận tốc thuyền dọc theo bờ (trục x) là \(v_x = v_n + v_{ct2} \sin \alpha\). --- ### Bước 8: Giả thiết vận tốc chèo \( v_{ct2} \) giữ nguyên (15 km/h) để tính \(\alpha\) Ta thử: \[ (v_n + v_{ct2} \sin \alpha) \frac{200}{v_{ct2} \cos \alpha} = 90 \] Thay số: \[ (0.833 + 4.17 \sin \alpha) \frac{200}{4.17 \cos \alpha} = 90 \] \[ (0.833 + 4.17 \sin \alpha) \times \frac{200}{4.17 \cos \alpha} = 90 \] Rút gọn: \[ \frac{200}{4.17} = 47.96 \] \[ (0.833 + 4.17 \sin \alpha) \times \frac{47.96}{\cos \alpha} = 90 \] \[ (0.833 + 4.17 \sin \alpha) = 90 \times \frac{\cos \alpha}{47.96} = 1.876 \cos \alpha \] \[ 0.833 + 4.17 \sin \alpha = 1.876 \cos \alpha \] Chuyển vế: \[ 4.17 \sin \alpha - 1.876 \cos \alpha = -0.833 \] Chia cả hai vế cho 4.17: \[ \sin \alpha - 0.45 \cos \alpha = -0.2 \] --- ### Bước 9: Giải phương trình trên Viết lại: \[ \sin \alpha - 0.45 \cos \alpha = -0.2 \] Dùng công thức cộng: \[ a \sin \alpha + b \cos \alpha = c \] Trong đó \( a=1, b=-0.45, c = -0.2 \). Ta đặt: \[ R = \sqrt{1^2 + (-0.45)^2} = \sqrt{1 + 0.2025} = \sqrt{1.2025} = 1.0975 \] Góc \(\phi\) thỏa mãn: \[ \sin \alpha - 0.45 \cos \alpha = R \sin(\alpha - \phi) \] với \[ \cos \phi = \frac{a}{R} = \frac{1}{1.0975} = 0.91 \] \[ \sin \phi = \frac{b}{R} = \frac{-0.45}{1.0975} = -0.41 \] Như vậy: \[ R \sin(\alpha - \phi) = c \Rightarrow \sin(\alpha - \phi) = \frac{c}{R} = \frac{-0.2}{1.0975} = -0.182 \] Vậy: \[ \alpha - \phi = \arcsin(-0.182) \] \[ \alpha - \phi = -0.183 \, rad \quad \text{hoặc} \quad \alpha - \phi = \pi + 0.183 = 3.32 \, rad \] Ta chọn nghiệm phù hợp \(\alpha\) nhỏ. Biết \(\phi = \arccos(0.91) \approx 0.42 \, rad\) (24 độ). Do đó: \[ \alpha = \phi - 0.183 = 0.42 - 0.183 = 0.237 \, rad = 13.6^\circ \] --- ### Bước 10: Kiểm tra lại Với \(\alpha = 13.6^\circ\), vận tốc chèo \(v_{ct2} = 4.17 m/s\) thì dịch chuyển đúng 90 m theo x. --- ### Bước 11: Bài yêu cầu tính vận tốc chèo \(v_{ct2}\) để đến điểm cách điểm trước 50m Với góc \(\alpha\) đã tính, ta tìm vận tốc \(v_{ct2}\). Công thức: \[ x = (v_n + v_{ct2} \sin \alpha) \times \frac{200}{v_{ct2} \cos \alpha} = 90 \] Suy ra: \[ (v_n + v_{ct2} \sin \alpha) \frac{200}{v_{ct2} \cos \alpha} = 90 \] \[ \Rightarrow (v_n + v_{ct2} \sin \alpha) = \frac{90 v_{ct2} \cos \alpha}{200} \] \[ v_n + v_{ct2} \sin \alpha = 0.45 v_{ct2} \cos \alpha \] \[ v_n = v_{ct2} (0.45 \cos \alpha - \sin \alpha) \] \[ v_{ct2} = \frac{v_n}{0.45 \cos \alpha - \sin \alpha} \] Thay số: \[ v_n = 0.833 \] \[ \cos 13.6^\circ = 0.973 \] \[ \sin 13.6^\circ = 0.236 \] \[ v_{ct2} = \frac{0.833}{0.45 \times 0.973 - 0.236} = \frac{0.833}{0.438 - 0.236} = \frac{0.833}{0.202} = 4.12 \, m/s \] Chuyển sang km/h: \[ v_{ct2} = 4.12 \times \frac{18}{5} = 14.83 \, km/h \] --- ### **Kết luận:** Để thuyền đến bờ bên kia cách điểm trước theo phương vuông góc 50m, vận tốc chèo thuyền khoảng **14.8 km/h**, và thuyền chèo theo hướng lệch khoảng \(13.6^\circ\) so với phương vuông góc bờ, ngược chiều với dòng chảy để bù trừ dòng nước. --- **Đáp số:** \[ v_{ct2} \approx 14.8 \, km/h \] --- Nếu cần, thầy có thể giúp vẽ hình minh họa hoặc giải thích thêm.