Cho 2013 điểm $A_1;A_2;A_3;\ldots;A_{2013}$ và đường tròn (O; 1) tùy ý cùng nằm trong mặt phẳng. Chứng minh trên đường tròn (O; 1) đó, ta luôn có thể tìm được 1 điểm M sao cho $MA_1+MA_2+MA_3+\cdots MA_{2013}\ge2013$.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh bài toán này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong hình học.

Trước tiên, ta cần nhắc lại bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong hình học:

Với các điểm $ A_1, A_2, \ldots, A_n $ và điểm $ M $ bất kỳ trong mặt phẳng, ta có:

$$
(MA_1 + MA_2 + \cdots + MA_n)^2 \leq n(MA_1^2 + MA_2^2 + \cdots + MA_n^2)
$$

Áp dụng bất đẳng thức này cho bài toán, ta có:

$$
(MA_1 + MA_2 + \cdots + MA_{2013})^2 \leq 2013(MA_1^2 + MA_2^2 + \cdots + MA_{2013}^2)
$$

Do đó, để chứng minh $ MA_1 + MA_2 + \cdots + MA_{2013} \geq 2013 $, ta cần chứng minh:

$$
2013(MA_1^2 + MA_2^2 + \cdots + MA_{2013}^2) \geq 2013^2
$$

hay tương đương với:

$$
MA_1^2 + MA_2^2 + \cdots + MA_{2013}^2 \geq 2013
$$

Bây giờ, ta chọn điểm $ M $ là tâm $ O $ của đường tròn. Khi đó, $ MO = 0 $ và bán kính của đường tròn là 1, nên:

$$
MA_i = OA_i = 1 \quad \text{với mọi } i = 1, 2, \ldots, 2013
$$

Do đó:

$$
MA_1^2 + MA_2^2 + \cdots + MA_{2013}^2 = 1^2 + 1^2 + \cdots + 1^2 = 2013
$$

Vậy:

$$
MA_1 + MA_2 + \cdots + MA_{2013} \geq 2013
$$

Điều này chứng tỏ rằng luôn tồn tại điểm $ M $ trên đường tròn sao cho tổng các khoảng cách từ $ M $ đến các điểm $ A_1, A_2, \ldots, A_{2013} $ lớn hơn hoặc bằng 2013.

Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.

Cho 2013 điểm $A_1;A_2;A_3;\ldots;A_{2013}$ và đường tròn (O; 1) tùy ý cùng nằm trong mặt phẳng. Chứng minh trên đường tròn (O; 1) đó, ta luôn có thể tìm được 1 điểm M sao cho...