Cho 5 số thực không âm a, b, c, d, e có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường tròn. CMR luôn tồn tại cách sắp xếp sao cho hai số bất kỳ cạnh nhau có tích không lớn hơn $\frac{1}{9}.$

Để chứng minh rằng luôn tồn tại cách sắp xếp 5 số thực không âm \(a, b, c, d, e\) có tổng bằng 1 trên một đường tròn sao cho tích của hai số bất kỳ cạnh nhau không lớn hơn \(\frac{1}{9}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Giả sử ngược lại: Giả sử không tồn tại cách sắp xếp nào thỏa mãn điều kiện trên, tức là với mọi cách sắp xếp, luôn có ít nhất một cặp số cạnh nhau có tích lớn hơn \(\frac{1}{9}\). 2. Xét tổng các tích của các cặp số cạnh nhau: Khi xếp 5 số trên một đường tròn, ta có 5 cặp số cạnh nhau. Tổng các tích của các cặp số cạnh nhau là: \[ S = ab + bc + cd + de + ea \] 3. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \[ (ab + bc + cd + de + ea) \leq \frac{(a+b+c+d+e)^2}{5} \] Do \(a + b + c + d + e = 1\), nên: \[ S \leq \frac{1^2}{5} = \frac{1}{5} \] 4. Mâu thuẫn với giả thiết: Theo giả thiết ngược lại, mỗi cặp số cạnh nhau có tích lớn hơn \(\frac{1}{9}\). Do đó: \[ S > 5 \times \frac{1}{9} = \frac{5}{9} \] 5. So sánh hai kết quả: Ta có hai kết quả mâu thuẫn: - \(S \leq \frac{1}{5}\) - \(S > \frac{5}{9}\) Vì \(\frac{1}{5} < \frac{5}{9}\), điều này dẫn đến mâu thuẫn. Do đó, giả thiết ngược lại là sai. 6. Kết luận: Vậy, luôn tồn tại cách sắp xếp 5 số \(a, b, c, d, e\) trên một đường tròn sao cho tích của hai số bất kỳ cạnh nhau không lớn hơn \(\frac{1}{9}\). Như vậy, bài toán đã được chứng minh.