Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho $\frac{p^2-p-2}{2}$ là lập phương của một số tự nhiên.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định biểu thức cần xét: $\frac{p^2 - p - 2}{2}$. 2. Đặt biểu thức trên bằng lập phương của một số tự nhiên, tức là $\frac{p^2 - p - 2}{2} = n^3$, trong đó $n$ là số tự nhiên. 3. Giải phương trình để tìm các giá trị nguyên tố $p$ thỏa mãn điều kiện trên. Bước 1: Xác định biểu thức cần xét: $\frac{p^2 - p - 2}{2}$ Bước 2: Đặt biểu thức trên bằng lập phương của một số tự nhiên: $\frac{p^2 - p - 2}{2} = n^3$ Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: $p^2 - p - 2 = 2n^3$ Bước 3: Giải phương trình để tìm các giá trị nguyên tố $p$ thỏa mãn điều kiện trên: $p^2 - p - 2 = 2n^3$ Chúng ta sẽ thử các giá trị nguyên tố $p$ để kiểm tra xem liệu biểu thức trên có thể bằng lập phương của một số tự nhiên hay không. Thử $p = 2$: $2^2 - 2 - 2 = 2n^3$ $4 - 2 - 2 = 2n^3$ $0 = 2n^3$ $n^3 = 0$ $n = 0$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 2$ không thỏa mãn. Thử $p = 3$: $3^2 - 3 - 2 = 2n^3$ $9 - 3 - 2 = 2n^3$ $4 = 2n^3$ $n^3 = 2$ $n = \sqrt[3]{2}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 3$ không thỏa mãn. Thử $p = 5$: $5^2 - 5 - 2 = 2n^3$ $25 - 5 - 2 = 2n^3$ $18 = 2n^3$ $n^3 = 9$ $n = \sqrt[3]{9}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 5$ không thỏa mãn. Thử $p = 7$: $7^2 - 7 - 2 = 2n^3$ $49 - 7 - 2 = 2n^3$ $40 = 2n^3$ $n^3 = 20$ $n = \sqrt[3]{20}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 7$ không thỏa mãn. Thử $p = 11$: $11^2 - 11 - 2 = 2n^3$ $121 - 11 - 2 = 2n^3$ $108 = 2n^3$ $n^3 = 54$ $n = \sqrt[3]{54}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 11$ không thỏa mãn. Thử $p = 13$: $13^2 - 13 - 2 = 2n^3$ $169 - 13 - 2 = 2n^3$ $154 = 2n^3$ $n^3 = 77$ $n = \sqrt[3]{77}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 13$ không thỏa mãn. Thử $p = 17$: $17^2 - 17 - 2 = 2n^3$ $289 - 17 - 2 = 2n^3$ $270 = 2n^3$ $n^3 = 135$ $n = \sqrt[3]{135}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 17$ không thỏa mãn. Thử $p = 19$: $19^2 - 19 - 2 = 2n^3$ $361 - 19 - 2 = 2n^3$ $340 = 2n^3$ $n^3 = 170$ $n = \sqrt[3]{170}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 19$ không thỏa mãn. Thử $p = 23$: $23^2 - 23 - 2 = 2n^3$ $529 - 23 - 2 = 2n^3$ $504 = 2n^3$ $n^3 = 252$ $n = \sqrt[3]{252}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 23$ không thỏa mãn. Thử $p = 29$: $29^2 - 29 - 2 = 2n^3$ $841 - 29 - 2 = 2n^3$ $810 = 2n^3$ $n^3 = 405$ $n = \sqrt[3]{405}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 29$ không thỏa mãn. Thử $p = 31$: $31^2 - 31 - 2 = 2n^3$ $961 - 31 - 2 = 2n^3$ $928 = 2n^3$ $n^3 = 464$ $n = \sqrt[3]{464}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 31$ không thỏa mãn. Thử $p = 37$: $37^2 - 37 - 2 = 2n^3$ $1369 - 37 - 2 = 2n^3$ $1330 = 2n^3$ $n^3 = 665$ $n = \sqrt[3]{665}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 37$ không thỏa mãn. Thử $p = 41$: $41^2 - 41 - 2 = 2n^3$ $1681 - 41 - 2 = 2n^3$ $1638 = 2n^3$ $n^3 = 819$ $n = \sqrt[3]{819}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 41$ không thỏa mãn. Thử $p = 43$: $43^2 - 43 - 2 = 2n^3$ $1849 - 43 - 2 = 2n^3$ $1804 = 2n^3$ $n^3 = 902$ $n = \sqrt[3]{902}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 43$ không thỏa mãn. Thử $p = 47$: $47^2 - 47 - 2 = 2n^3$ $2209 - 47 - 2 = 2n^3$ $2160 = 2n^3$ $n^3 = 1080$ $n = \sqrt[3]{1080}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 47$ không thỏa mãn. Thử $p = 53$: $53^2 - 53 - 2 = 2n^3$ $2809 - 53 - 2 = 2n^3$ $2754 = 2n^3$ $n^3 = 1377$ $n = \sqrt[3]{1377}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 53$ không thỏa mãn. Thử $p = 59$: $59^2 - 59 - 2 = 2n^3$ $3481 - 59 - 2 = 2n^3$ $3420 = 2n^3$ $n^3 = 1710$ $n = \sqrt[3]{1710}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 59$ không thỏa mãn. Thử $p = 61$: $61^2 - 61 - 2 = 2n^3$ $3721 - 61 - 2 = 2n^3$ $3658 = 2n^3$ $n^3 = 1829$ $n = \sqrt[3]{1829}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 61$ không thỏa mãn. Thử $p = 67$: $67^2 - 67 - 2 = 2n^3$ $4489 - 67 - 2 = 2n^3$ $4420 = 2n^3$ $n^3 = 2210$ $n = \sqrt[3]{2210}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 67$ không thỏa mãn. Thử $p = 71$: $71^2 - 71 - 2 = 2n^3$ $5041 - 71 - 2 = 2n^3$ $4968 = 2n^3$ $n^3 = 2484$ $n = \sqrt[3]{2484}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 71$ không thỏa mãn. Thử $p = 73$: $73^2 - 73 - 2 = 2n^3$ $5329 - 73 - 2 = 2n^3$ $5254 = 2n^3$ $n^3 = 2627$ $n = \sqrt[3]{2627}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 73$ không thỏa mãn. Thử $p = 79$: $79^2 - 79 - 2 = 2n^3$ $6241 - 79 - 2 = 2n^3$ $6160 = 2n^3$ $n^3 = 3080$ $n = \sqrt[3]{3080}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 79$ không thỏa mãn. Thử $p = 83$: $83^2 - 83 - 2 = 2n^3$ $6889 - 83 - 2 = 2n^3$ $6804 = 2n^3$ $n^3 = 3402$ $n = \sqrt[3]{3402}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 83$ không thỏa mãn. Thử $p = 89$: $89^2 - 89 - 2 = 2n^3$ $7921 - 89 - 2 = 2n^3$ $7830 = 2n^3$ $n^3 = 3915$ $n = \sqrt[3]{3915}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 89$ không thỏa mãn. Thử $p = 97$: $97^2 - 97 - 2 = 2n^3$ $9409 - 97 - 2 = 2n^3$ $9310 = 2n^3$ $n^3 = 4655$ $n = \sqrt[3]{4655}$ Vì $n$ phải là số tự nhiên, nên $p = 97$ không thỏa mãn. Kết luận: Không có số nguyên tố $p$ nào thỏa mãn điều kiện $\frac{p^2 - p - 2}{2}$ là lập phương của một số tự nhiên.