Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) sao cho $x^2+8y;y^2+8x$ là các số chính phương.

Giả sử tồn tại các số nguyên dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(x^2 + 8y = a^2\) và \(y^2 + 8x = b^2\) với \(a, b\) là các số nguyên dương. Ta có: \[ x^2 < x^2 + 8y < x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 \] Do đó: \[ x^2 < a^2 < (x + 4)^2 \] Vì \(a^2\) là số chính phương nằm giữa \(x^2\) và \((x + 4)^2\), nên \(a^2\) có thể là \((x + 1)^2\), \((x + 2)^2\), hoặc \((x + 3)^2\). Xét từng trường hợp: 1. Trường hợp \(a^2 = (x + 1)^2\): \[ x^2 + 8y = (x + 1)^2 \] \[ x^2 + 8y = x^2 + 2x + 1 \] \[ 8y = 2x + 1 \] \[ y = \frac{2x + 1}{8} \] Vì \(y\) phải là số nguyên dương, nên \(2x + 1\) phải chia hết cho 8. Điều này không thể xảy ra vì \(2x + 1\) luôn lẻ. 2. Trường hợp \(a^2 = (x + 2)^2\): \[ x^2 + 8y = (x + 2)^2 \] \[ x^2 + 8y = x^2 + 4x + 4 \] \[ 8y = 4x + 4 \] \[ y = \frac{4x + 4}{8} \] \[ y = \frac{x + 1}{2} \] Vì \(y\) phải là số nguyên dương, nên \(x + 1\) phải chia hết cho 2. Điều này có nghĩa là \(x\) phải là số lẻ. 3. Trường hợp \(a^2 = (x + 3)^2\): \[ x^2 + 8y = (x + 3)^2 \] \[ x^2 + 8y = x^2 + 6x + 9 \] \[ 8y = 6x + 9 \] \[ y = \frac{6x + 9}{8} \] Vì \(y\) phải là số nguyên dương, nên \(6x + 9\) phải chia hết cho 8. Điều này không thể xảy ra vì \(6x + 9\) luôn lẻ. Do đó, chỉ có trường hợp \(a^2 = (x + 2)^2\) là khả thi, tức là \(y = \frac{x + 1}{2}\). Bây giờ, ta xét \(y^2 + 8x = b^2\): \[ \left( \frac{x + 1}{2} \right)^2 + 8x = b^2 \] \[ \frac{(x + 1)^2}{4} + 8x = b^2 \] \[ \frac{x^2 + 2x + 1}{4} + 8x = b^2 \] \[ \frac{x^2 + 2x + 1 + 32x}{4} = b^2 \] \[ \frac{x^2 + 34x + 1}{4} = b^2 \] \[ x^2 + 34x + 1 = 4b^2 \] Ta cần tìm \(x\) sao cho \(x^2 + 34x + 1\) là số chính phương. Thử các giá trị nhỏ của \(x\): - Nếu \(x = 1\): \[ 1^2 + 34 \cdot 1 + 1 = 36 = 6^2 \] \[ y = \frac{1 + 1}{2} = 1 \] - Nếu \(x = 2\): \[ 2^2 + 34 \cdot 2 + 1 = 73 \] (không phải số chính phương) - Nếu \(x = 3\): \[ 3^2 + 34 \cdot 3 + 1 = 112 \] (không phải số chính phương) - Nếu \(x = 4\): \[ 4^2 + 34 \cdot 4 + 1 = 153 \] (không phải số chính phương) - Nếu \(x = 5\): \[ 5^2 + 34 \cdot 5 + 1 = 196 = 14^2 \] \[ y = \frac{5 + 1}{2} = 3 \] Do đó, các cặp số nguyên dương \((x, y)\) thỏa mãn đề bài là: \[ (1, 1) \text{ và } (5, 3) \] Đáp số: \((1, 1)\) và \((5, 3)\).