Giải giúp vs

Câu 15: Để giải bài toán này, ta cần tính giá trị của biểu thức \( M = \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\cos^3\alpha} \) với điều kiện \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\) và \(90^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ\). Bước 1: Tìm \(\sin\alpha\) Vì \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ II, nên \(\sin\alpha\) sẽ dương và \(\cos\alpha\) sẽ âm. Ta có: \[ \cos\alpha = \frac{4}{5} \] Sử dụng hệ thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Thay \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\) vào, ta có: \[ \sin^2\alpha + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2\alpha + \frac{16}{25} = 1 \] \[ \sin^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \] Vì \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ II, nên \(\sin\alpha\) dương: \[ \sin\alpha = \frac{3}{5} \] Bước 2: Tính giá trị của \(M\) Thay \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) và \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\) vào biểu thức \(M\): \[ M = \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\cos^3\alpha} = \frac{\frac{3}{5} + \frac{4}{5}}{\left(\frac{4}{5}\right)^3} \] Tính tử số: \[ \sin\alpha + \cos\alpha = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5} \] Tính mẫu số: \[ \cos^3\alpha = \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{64}{125} \] Do đó: \[ M = \frac{\frac{7}{5}}{\frac{64}{125}} = \frac{7}{5} \times \frac{125}{64} = \frac{7 \times 125}{5 \times 64} = \frac{875}{320} \] Rút gọn phân số: \[ \frac{875}{320} = \frac{35}{27} \] Vậy giá trị của \(M\) là \(\frac{35}{27}\). Kết luận: Giá trị của \(M\) là \(\frac{35}{27}\), do đó đáp án đúng là \(C.~M=\frac{35}{27}\). Câu 16: Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{2\cos^2 a - 1}{\sin a + \cos a} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Nhận dạng tử số: Ta biết rằng \( 2\cos^2 a - 1 \) có thể viết lại dưới dạng \( \cos(2a) \). Tuy nhiên, trong phạm vi kiến thức lớp 10, ta có thể sử dụng công thức: \[ 2\cos^2 a - 1 = \cos(2a) \] Nhưng vì yêu cầu chỉ sử dụng kiến thức lớp 10, ta sẽ giữ nguyên biểu thức này. 2. Phân tích tử số: Ta có: \[ 2\cos^2 a - 1 = \cos^2 a + \cos^2 a - 1 \] Ta biết rằng: \[ \cos^2 a + \sin^2 a = 1 \] Do đó: \[ 2\cos^2 a - 1 = \cos^2 a + \cos^2 a - (\cos^2 a + \sin^2 a) = \cos^2 a - \sin^2 a \] 3. Thay vào biểu thức ban đầu: \[ A = \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\sin a + \cos a} \] 4. Phân tích tử số thành nhân tử: Ta có: \[ \cos^2 a - \sin^2 a = (\cos a - \sin a)(\cos a + \sin a) \] 5. Rút gọn biểu thức: \[ A = \frac{(\cos a - \sin a)(\cos a + \sin a)}{\sin a + \cos a} \] Vì \(\sin a + \cos a\) là mẫu số chung, ta có thể rút gọn: \[ A = \cos a - \sin a \] Vậy, đáp án đúng là: \[ C.~\cos a - \sin a \] Câu 17: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các giá trị lượng giác trong nửa đường tròn đơn vị. Biểu thức cần tìm giá trị là: \[ A = \tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \tan 3^\circ \cdots \tan 88^\circ \cdot \tan 89^\circ \] Chúng ta biết rằng: \[ \tan(90^\circ - x) = \cot x \] Do đó, ta có thể ghép các cặp góc sao cho tổng của chúng bằng \(90^\circ\): \[ \tan 1^\circ \cdot \tan 89^\circ = \tan 1^\circ \cdot \cot 1^\circ = 1 \] \[ \tan 2^\circ \cdot \tan 88^\circ = \tan 2^\circ \cdot \cot 2^\circ = 1 \] \[ \vdots \] \[ \tan 44^\circ \cdot \tan 46^\circ = \tan 44^\circ \cdot \cot 44^\circ = 1 \] Có tất cả 44 cặp như vậy, mỗi cặp nhân với nhau đều bằng 1. Ngoài ra còn lại \(\tan 45^\circ\), mà \(\tan 45^\circ = 1\). Vậy biểu thức \(A\) có thể viết lại thành: \[ A = (\tan 1^\circ \cdot \tan 89^\circ) \cdot (\tan 2^\circ \cdot \tan 88^\circ) \cdots (\tan 44^\circ \cdot \tan 46^\circ) \cdot \tan 45^\circ \] \[ A = 1 \cdot 1 \cdots 1 \cdot 1 = 1 \] Do đó, giá trị của biểu thức \(A\) là: \[ \boxed{1} \] Câu 18: Ta có: $f(x)=\cos^4x+\cos^2x\sin^2x+\sin^2x=\cos^4x+\cos^2x(1-\cos^2x)+1-\cos^2x$ $=\cos^4x+\cos^2x-\cos^4x+1-\cos^2x=1.$ Vậy chọn đáp án A. Câu 1: Chúng ta sẽ giải quyết từng bài toán một cách chi tiết. Bài toán 1: Biểu thức \(\tan^2x\sin^2x-\tan^2x+\sin^2x\) Để giải bài toán này, ta cần biến đổi biểu thức đã cho: 1. Biểu thức ban đầu là: \[ \tan^2x\sin^2x - \tan^2x + \sin^2x \] 2. Ta biết rằng \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), do đó \(\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\). 3. Thay vào biểu thức, ta có: \[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \cdot \sin^2 x - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \sin^2 x \] 4. Biến đổi biểu thức: \[ \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \sin^2 x \] 5. Đặt \(t = \sin^2 x\), ta có: \[ \frac{t^2}{\cos^2 x} - \frac{t}{\cos^2 x} + t \] 6. Gộp các phân thức lại: \[ \frac{t^2 - t}{\cos^2 x} + t \] 7. Để đơn giản hóa, ta nhận thấy rằng: \[ \frac{t(t-1)}{\cos^2 x} + t = t \left(\frac{t-1}{\cos^2 x} + 1\right) \] 8. Khi \(\sin^2 x = 1\), \(\cos^2 x = 0\), biểu thức không xác định. Khi \(\sin^2 x = 0\), biểu thức bằng 0. 9. Thử giá trị \(\sin^2 x = \frac{1}{2}\), \(\cos^2 x = \frac{1}{2}\), ta có: \[ \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} = \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} = \frac{-\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \] Vậy giá trị của biểu thức là 0. Đáp án đúng là B. 0. Bài toán 2: Tính \(P = \sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha\) với \(\alpha + \beta = 90^\circ\) 1. Ta có \(\alpha + \beta = 90^\circ\), do đó \(\beta = 90^\circ - \alpha\). 2. Thay vào biểu thức \(P\): \[ P = \sin\alpha\cos(90^\circ - \alpha) + \sin(90^\circ - \alpha)\cos\alpha \] 3. Sử dụng công thức lượng giác: \[ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha \quad \text{và} \quad \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha \] 4. Thay vào biểu thức: \[ P = \sin\alpha \cdot \sin\alpha + \cos\alpha \cdot \cos\alpha = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha \] 5. Theo công thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Vậy giá trị của \(P\) là 1. Đáp án đúng là B. 1. Câu 21: Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định góc $\alpha$ và các giá trị lượng giác liên quan dựa trên thông tin đã cho: $\tan\alpha = -\frac{5}{12}$. 1. Xác định góc phần tư của $\alpha$: - Ta biết rằng $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Khi $\tan\alpha$ âm, điều này có nghĩa là $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ có dấu trái ngược nhau. - Trên nửa đường tròn đơn vị (góc phần tư I và II), $\tan\alpha$ chỉ có thể âm khi $\alpha$ thuộc góc phần tư II, vì ở góc phần tư I, cả $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ đều dương. Do đó, $\alpha \in (90^\circ; 180^\circ)$. 2. Tính các giá trị lượng giác: - Ta có $\tan\alpha = -\frac{5}{12}$, điều này có nghĩa là $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\frac{5}{12}$. - Đặt $\sin\alpha = -5k$ và $\cos\alpha = 12k$ với $k > 0$ (vì $\cos\alpha$ dương trong góc phần tư II). - Theo định lý Pythagore cho tam giác vuông, ta có: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow (-5k)^2 + (12k)^2 = 1 \] \[ 25k^2 + 144k^2 = 1 \Rightarrow 169k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{169} \Rightarrow k = \frac{1}{13} \] - Từ đó, ta tính được: \[ \sin\alpha = -5k = -\frac{5}{13} \] \[ \cos\alpha = 12k = \frac{12}{13} \] 3. Tính $\cot\alpha$: - $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = -\frac{12}{5}$. 4. Kiểm tra các mệnh đề: (a) $\alpha \in (90^\circ; 180^\circ)$: Đúng. (b) $\cos\alpha = \frac{12}{13}$: Đúng. (c) $\cot\alpha = \frac{12}{5}$: Sai. (Vì $\cot\alpha = -\frac{12}{5}$). (d) $\sin\alpha = \frac{5}{13}$: Sai. (Vì $\sin\alpha = -\frac{5}{13}$). Kết luận: - (a) Đúng - (b) Đúng - (c) Sai - (d) Sai Câu 222: Để giải quyết các mệnh đề liên quan đến góc $\alpha$ với điều kiện $\cos\alpha = -\frac{3}{4}$ và $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, ta cần lưu ý rằng điều kiện này không hợp lý vì $\cos\alpha$ không thể âm trong góc phần tư thứ nhất. Tuy nhiên, nếu ta giả sử rằng điều kiện góc là $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, thì $\cos\alpha$ có thể âm. Dưới đây là cách giải quyết từng mệnh đề: (a) Mệnh đề: $\sin^2\alpha = \frac{7}{16}$ Ta có công thức lượng giác cơ bản: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Thay $\cos\alpha = -\frac{3}{4}$ vào, ta có: \[ \sin^2\alpha + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2\alpha + \frac{9}{16} = 1 \] \[ \sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \] Mệnh đề (a) là Đúng. (b) Mệnh đề: $\sin\alpha < 0$ Vì $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ hai ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), nên $\sin\alpha$ phải dương. Do đó, mệnh đề (b) là Sai. (c) Mệnh đề: $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{4}$ Từ kết quả ở mệnh đề (a), ta có $\sin^2\alpha = \frac{7}{16}$, do đó: \[ \sin\alpha = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4} \] Vì $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ hai, nên $\sin\alpha$ phải dương. Do đó, $\sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$, không phải là $-\frac{\sqrt{7}}{4}$. Mệnh đề (c) là Sai. (d) Mệnh đề: $\cot\alpha = -\frac{3\sqrt{7}}{7}$ Ta có $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Thay $\cos\alpha = -\frac{3}{4}$ và $\sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$ vào, ta có: \[ \cot\alpha = \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = -\frac{3}{\sqrt{7}} \] Rút gọn biểu thức: \[ \cot\alpha = -\frac{3}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = -\frac{3\sqrt{7}}{7} \] Mệnh đề (d) là Đúng. Tóm lại: - Mệnh đề (a) là Đúng. - Mệnh đề (b) là Sai. - Mệnh đề (c) là Sai. - Mệnh đề (d) là Đúng. Câu 23: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề (a): $\cos\alpha< 0$ - Ta biết rằng góc $\alpha$ nằm trong khoảng $0^0 < \alpha < 90^0$, tức là góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. - Trong góc phần tư thứ nhất, cả $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ đều dương. - Do đó, $\cos\alpha > 0$. Kết luận: Mệnh đề (a) là Sai. Mệnh đề (b): $\cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha}$ - Ta có $\sin\alpha = \frac{12}{13}$. - Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. - Suy ra $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$. - Do $\cos\alpha > 0$ trong góc phần tư thứ nhất, nên $\cos\alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$. - Như vậy, $\cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha}$ là đúng. Kết luận: Mệnh đề (b) là Đúng. Tóm lại: - Mệnh đề (a) là Sai. - Mệnh đề (b) là Đúng.