Trong một giờ học giáo dục thể chất trên sân vận động, thầy giáo A yêu cầu 2 học sinh B và C cùng lúc chạy từ điểm O theo hai đường thẳng vuông góc nhau là Ox và Oy với các tốc độ không đổi là 3 m/s v...

Ta có bài toán chuyển động của 3 người trên mặt phẳng với các dữ liệu: - Hai học sinh B và C xuất phát từ điểm O cùng lúc. - B chạy theo Ox với vận tốc v_B = 3 m/s. - C chạy theo Oy với vận tốc v_C = 4 m/s. - Thầy giáo A xuất phát từ O cùng lúc với 2 học sinh, chạy trên đường thẳng nằm giữa Ox và Oy. --- **1. Xác định khoảng cách giữa 2 học sinh B và C sau 5 giây.** - Sau 5 giây, vị trí B trên Ox là: \( x_B = v_B \cdot t = 3 \times 5 = 15 \, m \) \( y_B = 0 \) - Vị trí C trên Oy là: \( x_C = 0 \) \( y_C = v_C \cdot t = 4 \times 5 = 20 \, m \) - Khoảng cách BC được tính bằng: \[ d = \sqrt{(x_B - x_C)^2 + (y_B - y_C)^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \, m \] **Đáp án 1:** Khoảng cách giữa B và C sau 5 giây là 25 mét. --- **2. Thầy giáo cũng xuất phát cùng lúc, cùng vị trí O với 2 học sinh, thầy giáo chạy đều trên một đường thẳng nằm giữa Ox và Oy.** Ta gọi: - Phương thẳng của thầy giáo tạo góc 45° với Ox (vì nằm giữa Ox và Oy vuông góc). - Vận tốc thầy giáo là \( v_A \). - Vị trí của thầy giáo sau t giây là: \[ x_A = v_A \cdot t \cdot \cos 45^\circ = \frac{v_A t}{\sqrt{2}}, \quad y_A = v_A \cdot t \cdot \sin 45^\circ = \frac{v_A t}{\sqrt{2}}. \] --- **a) Xác định phương và tốc độ chuyển động của thầy giáo để vị trí của 3 thầy trò luôn tạo thành hình chữ nhật OBAC.** Gọi điểm O(0,0), B(15,0) tại thời điểm t, C(0,20), A(x_A, y_A). Yêu cầu OBAC là hình chữ nhật nên: - Các điểm O, B, A, C tạo thành hình chữ nhật, tức: OB và AC song song với Ox, OC và AB song song với Oy. Trong hình chữ nhật, điểm A chính là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng Ox (hoặc hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng Oy) tùy vị trí. Như vậy, tọa độ điểm A phải thỏa: - A nằm trên đường chéo nằm giữa Ox và Oy (góc 45°), nên \( y_A = x_A \). - Đồng thời, AB song song với Oy và OA song song với Ox. Để OBAC là hình chữ nhật, điểm A phải có hoành độ bằng hoành độ của B và tung độ bằng tung độ của C: - B có tọa độ (x_B, 0) = (v_B t, 0). - C có tọa độ (0, y_C) = (0, v_C t). - Do OBAC là hình chữ nhật, điểm A có tọa độ (x_B, y_C) = (v_B t, v_C t). Nhưng ta đã giả thiết A phải nằm trên đường thẳng góc 45°: \[ y_A = x_A \Rightarrow v_C t = v_B t \Rightarrow v_C = v_B \] Nhưng từ đề bài, \( v_B = 3 m/s, v_C = 4 m/s \) nên không bằng nhau. Vậy thầy giáo chạy trên đường thẳng nằm giữa Ox và Oy với vận tốc \( v_A \), mà vị trí A phải là giao điểm giữa đường thẳng \( y = x \) và đường thẳng \( x = v_B t \), \( y = v_C t \). Như vậy, ta cần tìm \( v_A \) để tọa độ A là (x_A, y_A) với: \[ x_A = y_A = \frac{v_A t}{\sqrt{2}} \quad (1) \] và điểm A tạo thành hình chữ nhật với O, B, C tức là A có tọa độ: \[ (x_A, y_A) = (v_B t, v_C t) \quad (2) \] Từ (1) và (2), ta có: \[ v_B t = \frac{v_A t}{\sqrt{2}} \Rightarrow v_A = v_B \sqrt{2} = 3 \sqrt{2} \approx 4.24 \, m/s \] \[ v_C t = \frac{v_A t}{\sqrt{2}} \Rightarrow v_A = v_C \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} \approx 5.66 \, m/s \] Hai giá trị \( v_A \) lại khác nhau. Điều này chứng tỏ A không thể cùng lúc thỏa hai điều kiện trên. Vậy ta cần xem lại điều kiện. **Nhận xét:** Để 3 điểm B, C, A tạo thành hình chữ nhật với O, cần thỏa: - Tọa độ của A là giao điểm giữa đường thẳng \( y = x \) và đường thẳng nối B và C. Tuy nhiên, B và C chạy trên các trục Ox và Oy với vận tốc không đổi khác nhau, vị trí của B và C sau t giây là: \[ B: (3t, 0), \quad C: (0, 4t) \] Đường chéo BC có vector \(\vec{BC} = (-3t, 4t)\). Điểm A tạo thành hình chữ nhật OBAC với: - A là đỉnh đối diện O, tọa độ bằng tổng vector \(\vec{OB} + \vec{OC}\): \[ A = B + \overrightarrow{OC} = (3t, 0) + (0, 4t) = (3t, 4t) \] Do đó, vị trí A là (3t, 4t). Nhưng thầy giáo chạy trên đường thẳng \( y = x \), nên: \[ y_A = x_A \Rightarrow 4t = 3t \Rightarrow t = 0 \] Chỉ thỏa khi t=0, tức lúc xuất phát. Điều này không thể. Như vậy, không thể giữ cho OBAC là hình chữ nhật khi thầy giáo chạy trên đường thẳng \( y=x \). **Giải pháp:** Thầy giáo chạy trên đường thẳng có góc \(\alpha\) với Ox, tọa độ: \[ (x_A, y_A) = (v_A t \cos \alpha, v_A t \sin \alpha) \] Yêu cầu OBAC là hình chữ nhật nghĩa là: \[ \vec{OA} = \vec{OB} + \vec{OC} \] \[ (x_A, y_A) = (v_B t, 0) + (0, v_C t) = (v_B t, v_C t) \] Do đó: \[ v_A t \cos \alpha = v_B t \Rightarrow v_A \cos \alpha = v_B \] \[ v_A t \sin \alpha = v_C t \Rightarrow v_A \sin \alpha = v_C \] Lấy bình phương và cộng hai vế: \[ v_A^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = v_B^2 + v_C^2 \Rightarrow v_A^2 = v_B^2 + v_C^2 \Rightarrow v_A = \sqrt{v_B^2 + v_C^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \, m/s \] Tính góc \(\alpha\): \[ \tan \alpha = \frac{v_C}{v_B} = \frac{4}{3} \Rightarrow \alpha = \arctan \frac{4}{3} \approx 53.13^\circ \] **Vậy:** - Phương chuyển động của thầy giáo tạo với Ox góc \(\alpha \approx 53.13^\circ\). - Vận tốc \( v_A = 5 \, m/s \). --- **b) Để vị trí của 3 thầy trò luôn thẳng hàng thì tốc độ nhỏ nhất của thầy giáo bằng bao nhiêu?** Ba điểm O, B, C thẳng hàng khi vector \(\vec{OB}\), \(\vec{OC}\), \(\vec{OA}\) cùng nằm trên một đường thẳng. Gọi vị trí sau t giây: - \( B = (3t, 0) \) - \( C = (0, 4t) \) - \( A = (v_A t \cos 45^\circ, v_A t \sin 45^\circ) = \left(\frac{v_A t}{\sqrt{2}}, \frac{v_A t}{\sqrt{2}}\right) \) Điều kiện ba điểm thẳng hàng là tồn tại hệ số \(k\) sao cho: \[ \vec{OA} = k \vec{OB} \quad \text{hoặc} \quad \vec{OA} = k \vec{OC} \quad \text{hoặc} \quad \vec{OB} = k \vec{OC} \] Xét phương trình điểm \(A\) thẳng hàng với \(B\) và \(C\): Ba điểm thẳng hàng khi định thức của ma trận tọa độ bằng 0: \[ \begin{vmatrix} x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \\ x_A & y_A & 1 \\ \end{vmatrix} = 0 \] Tính: \[ \begin{vmatrix} 3t & 0 & 1 \\ 0 & 4t & 1 \\ \frac{v_A t}{\sqrt{2}} & \frac{v_A t}{\sqrt{2}} & 1 \\ \end{vmatrix} = 0 \] Tính định thức: \[ 3t \cdot (4t \cdot 1 - 1 \cdot \frac{v_A t}{\sqrt{2}}) - 0 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{v_A t}{\sqrt{2}}) + 1 \cdot (0 \cdot \frac{v_A t}{\sqrt{2}} - 4t \cdot \frac{v_A t}{\sqrt{2}}) = 0 \] \[ = 3t (4t - \frac{v_A t}{\sqrt{2}}) + 0 + 1 \cdot (0 - 4t \cdot \frac{v_A t}{\sqrt{2}}) = 0 \] \[ = 3t \left(4t - \frac{v_A t}{\sqrt{2}} \right) - 4t \cdot \frac{v_A t}{\sqrt{2}} = 0 \] \[ 3t \cdot 4t - 3t \cdot \frac{v_A t}{\sqrt{2}} - 4t \cdot \frac{v_A t}{\sqrt{2}} = 0 \] \[ 12 t^2 - \frac{3 v_A t^2}{\sqrt{2}} - \frac{4 v_A t^2}{\sqrt{2}} = 0 \] \[ 12 t^2 - \frac{7 v_A t^2}{\sqrt{2}} = 0 \] Chia cả hai vế cho \( t^2 \neq 0 \): \[ 12 = \frac{7 v_A}{\sqrt{2}} \Rightarrow v_A = \frac{12 \sqrt{2}}{7} \approx \frac{12 \times 1.414}{7} \approx \frac{16.97}{7} \approx 2.42 \, m/s \] **Đáp án 2b:** Vận tốc nhỏ nhất của thầy giáo để ba người luôn thẳng hàng là khoảng 2.42 m/s. --- **Tóm tắt kết quả:** 1. Khoảng cách giữa 2 học sinh sau 5 giây là 25 m. 2a. Để vị trí của 3 thầy trò luôn tạo thành hình chữ nhật OBAC: - Thầy giáo chạy với vận tốc \( v_A = 5 \, m/s \). - Phương chuyển động tạo góc khoảng 53.13° với Ox. 2b. Để vị trí 3 người luôn thẳng hàng: - Vận tốc nhỏ nhất của thầy giáo là \( v_A \approx 2.42 \, m/s \).