Cho ΔABC. Trung tuyến BM và đường phân giác CD cắt nhau tại I thỏa mãn IB = IC. Từ A kẻ AH ⊥ BC. Chứng minh rằng IM = IH.

Để chứng minh rằng \( IM = IH \), ta sẽ thực hiện các bước lập luận như sau: 1. Xét tam giác \( \triangle BIC \): - Ta có \( IB = IC \) (giả thiết). - Do đó, tam giác \( \triangle BIC \) là tam giác cân tại \( I \). 2. Xét tam giác \( \triangle BMC \): - \( BM \) là trung tuyến của tam giác \( \triangle ABC \), do đó \( M \) là trung điểm của \( BC \). - Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BM = MC \). 3. Xét tam giác \( \triangle AHC \): - \( AH \perp BC \) (giả thiết), do đó \( AH \) là đường cao của tam giác \( \triangle ABC \). 4. Xét tam giác \( \triangle BIM \) và \( \triangle CIH \): - Ta có \( IB = IC \) (giả thiết). - \( BM = MC \) (vì \( M \) là trung điểm của \( BC \)). - \( \angle BIM = \angle CIH \) (vì \( I \) là giao điểm của đường trung tuyến và đường phân giác, và \( IB = IC \)). 5. Chứng minh \( \triangle BIM \cong \triangle CIH \): - Từ các điều kiện trên, ta có: - \( IB = IC \) - \( \angle BIM = \angle CIH \) - \( BM = MC \) - Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có \( \triangle BIM \cong \triangle CIH \). 6. Kết luận: - Từ việc \( \triangle BIM \cong \triangle CIH \), ta suy ra \( IM = IH \). Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( IM = IH \).