Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Với mỗi tam giác OAB, OBC, OCD, ODA, xét giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó. Tại sao bốn điểm vừa vẽ là bốn đỉnh của một hình thoi?

Để chứng minh rằng bốn điểm là bốn đỉnh của một hình thoi, ta cần xem xét các tam giác OAB, OBC, OCD, và ODA trong hình bình hành ABCD. 1. Tính chất của hình bình hành: - Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, O là trung điểm của cả AC và BD. 2. Tính chất của đường phân giác: - Đường phân giác của một tam giác chia góc thành hai góc bằng nhau và cắt cạnh đối diện tại một điểm sao cho tỉ lệ các đoạn thẳng trên cạnh đó bằng tỉ lệ hai cạnh kề của góc. 3. Xét tam giác OAB: - Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác OAB. Theo tính chất của đường phân giác, I là tâm nội tiếp của tam giác OAB. 4. Xét tam giác OBC: - Gọi J là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác OBC. Tương tự, J là tâm nội tiếp của tam giác OBC. 5. Xét tam giác OCD: - Gọi K là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác OCD. K là tâm nội tiếp của tam giác OCD. 6. Xét tam giác ODA: - Gọi L là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác ODA. L là tâm nội tiếp của tam giác ODA. 7. Chứng minh bốn điểm I, J, K, L là bốn đỉnh của một hình thoi: - Do O là trung điểm của AC và BD, các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA có tính chất đối xứng qua O. - Các điểm I, J, K, L là tâm nội tiếp của các tam giác này, nên chúng có tính chất đối xứng qua O. - Do đó, các đoạn thẳng IJ, JK, KL, LI đều có độ dài bằng nhau vì chúng là các đoạn thẳng nối các tâm nội tiếp của các tam giác có tính chất đối xứng. - Vì các đoạn thẳng này có độ dài bằng nhau và tạo thành một tứ giác, nên tứ giác IJLK là một hình thoi. Như vậy, bốn điểm I, J, K, L là bốn đỉnh của một hình thoi.