giải các bài trong hình

Dưới đây là lời giải chi tiết các bài tập: --- **Câu 1:** *Đề bài:* Hai quả cầu kim loại có khối lượng bằng nhau, khối lượng riêng lần lượt: \( D_1 = 7,8\, g/cm^3 \), \( D_2 = 2,6\, g/cm^3 \). Khi nhúng quả cầu thứ nhất vào chất lỏng có khối lượng riêng \( D_3 \), quả cầu thứ hai vào chất lỏng có khối lượng riêng \( D_4 \), cân mất thăng bằng. Để cân thăng bằng, ta phải thêm khối lượng \( m_1 = 17\, g \) vào đĩa có quả cầu thứ hai. Khi đổi vị trí hai chất lỏng (quả cầu thứ nhất vào \( D_4 \), thứ hai vào \( D_3 \)), cần thêm \( m_2 = 27\, g \) vào đĩa có quả cầu thứ hai để cân bằng. *Yêu cầu:* Tìm tỉ số \(\dfrac{D_3}{D_4}\). --- **Phân tích:** Gọi khối lượng mỗi quả cầu là \( m \). Khối lượng riêng \( D = \dfrac{m}{V} \Rightarrow V = \dfrac{m}{D} \). Khi quả cầu thứ nhất (khối lượng \(m\), khối lượng riêng \(D_1\)) nhúng trong chất lỏng khối lượng riêng \(D_3\), lực đẩy Acsimet lên quả cầu là: \[ F_{A1} = V_1 \rho_3 g = \frac{m}{D_1} D_3 g \] Tương tự với quả cầu thứ hai: \[ F_{A2} = \frac{m}{D_2} D_4 g \] Cân bằng ban đầu: hai quả cầu cân bằng vì cùng khối lượng. Khi nhúng, trọng lực hiệu dụng của quả cầu là: \[ P_1' = mg - F_{A1} = mg - \frac{m}{D_1} D_3 g = mg \left(1 - \frac{D_3}{D_1}\right) \] \[ P_2' = mg - F_{A2} = mg \left(1 - \frac{D_4}{D_2}\right) \] Cân mất thăng bằng: \( P_1' \neq P_2' \). Khi thêm khối lượng \( m_1 \) vào đĩa có quả cầu thứ hai để cân bằng lại: \[ P_1' = P_2' + m_1 g \] Hay: \[ mg \left(1 - \frac{D_3}{D_1}\right) = mg \left(1 - \frac{D_4}{D_2}\right) + m_1 g \] Rút gọn: \[ m \left(1 - \frac{D_3}{D_1}\right) = m \left(1 - \frac{D_4}{D_2}\right) + m_1 \quad (1) \] Khi đổi vị trí chất lỏng (quả cầu 1 nhúng vào \( D_4 \), quả cầu 2 vào \( D_3 \)) và thêm \( m_2 \) vào đĩa quả cầu thứ hai để cân bằng: \[ m \left(1 - \frac{D_4}{D_1}\right) = m \left(1 - \frac{D_3}{D_2}\right) + m_2 \quad (2) \] --- **Giải hệ (1) và (2):** Ta có: (1) \(\Rightarrow m \left( \frac{D_4}{D_2} - \frac{D_3}{D_1} \right) = m_1\) (2) \(\Rightarrow m \left( \frac{D_3}{D_2} - \frac{D_4}{D_1} \right) = m_2\) Đặt: \[ a = \frac{D_3}{D_1}, \quad b = \frac{D_4}{D_2} \] Ta có: \[ m(b - a) = m_1 \quad (3) \\ m(a - b) = m_2 \quad (4) \] Từ (3) và (4) suy ra: \[ m(b - a) = m_1 \\ m(a - b) = m_2 \Rightarrow m(b - a) = -m_2 \] So sánh: \[ m_1 = -m_2 \Rightarrow m_1 + m_2 = 0 \] Điều này mâu thuẫn với dữ liệu \(m_1=17\), \(m_2=27\) (cùng dấu dương). Ta kiểm tra lại dấu. Thực tế: Trong (2), do đổi chỗ, chiều lực khác, nên biểu thức đúng là: \[ m \left(1 - \frac{D_4}{D_1}\right) = m \left(1 - \frac{D_3}{D_2}\right) - m_2 \] => \[ m \left(\frac{D_3}{D_2} - \frac{D_4}{D_1}\right) = - m_2 \] Như vậy, \[ m(b - a) = m_1 \quad (3) \\ m(a - b) = -m_2 \quad (4) \] Từ (3), (4): \[ m(b - a) = m_1 \\ m(b - a) = m_2 \] => \( m_1 = m_2 \), vẫn sai. Có thể biểu thức sai dấu khi viết, ta kiểm tra lại các bước. --- **Xem lại bước viết phương trình cân bằng:** - Trọng lượng hiệu dụng khi nhúng: \[ P_1' = mg - F_{A1} = mg \left(1 - \frac{D_3}{D_1}\right) \\ P_2' = mg \left(1 - \frac{D_4}{D_2}\right) \] Cân mất thăng bằng, thêm \(m_1\) vào quả cầu thứ hai: \[ P_1' = P_2' + m_1 g \] Thay: \[ mg \left(1 - \frac{D_3}{D_1}\right) = mg \left(1 - \frac{D_4}{D_2}\right) + m_1 g \] \[ m \left(1 - \frac{D_3}{D_1}\right) = m \left(1 - \frac{D_4}{D_2}\right) + m_1 \] \[ m \left(\frac{D_4}{D_2} - \frac{D_3}{D_1}\right) = m_1 \quad (1) \] Khi đổi vị trí: Quả cầu 1 vào \(D_4\), quả cầu 2 vào \(D_3\). Trọng lượng hiệu dụng mới: \[ P_1'' = mg \left(1 - \frac{D_4}{D_1}\right) \\ P_2'' = mg \left(1 - \frac{D_3}{D_2}\right) \] Thêm \(m_2\) vào quả cầu thứ hai để cân bằng: \[ P_1'' = P_2'' + m_2 g \] \[ m \left(1 - \frac{D_4}{D_1}\right) = m \left(1 - \frac{D_3}{D_2}\right) + m_2 \] \[ m \left(\frac{D_3}{D_2} - \frac{D_4}{D_1}\right) = m_2 \quad (2) \] --- *Gọi:* \[ A = \frac{1}{D_1} = \frac{1}{7,8}, \quad B = \frac{1}{D_2} = \frac{1}{2,6} \] Phương trình (1): \[ m \left( D_4 B - D_3 A \right) = m_1 \] (2): \[ m \left( D_3 B - D_4 A \right) = m_2 \] Gọi: \[ x = D_3, \quad y = D_4 \] Ta có hệ: \[ m ( y B - x A ) = m_1 \quad (1) \] \[ m ( x B - y A ) = m_2 \quad (2) \] --- **Giải hệ:** (1) và (2) chia cho m: \[ y B - x A = \frac{m_1}{m} \quad (3) \] \[ x B - y A = \frac{m_2}{m} \quad (4) \] Cộng (3) và (4): \[ (y B - x A) + (x B - y A) = \frac{m_1 + m_2}{m} \] \[ y B - x A + x B - y A = \frac{m_1 + m_2}{m} \] \[ y (B - A) + x (B - A) = \frac{m_1 + m_2}{m} \] \[ (B - A)(x + y) = \frac{m_1 + m_2}{m} \] \[ x + y = \frac{m_1 + m_2}{m (B - A)} \quad (5) \] Trừ (4) từ (3): \[ (y B - x A) - (x B - y A) = \frac{m_1}{m} - \frac{m_2}{m} \] \[ y B - x A - x B + y A = \frac{m_1 - m_2}{m} \] \[ y (B + A) - x (A + B) = \frac{m_1 - m_2}{m} \] \[ (y - x)(A + B) = \frac{m_1 - m_2}{m} \] \[ y - x = \frac{m_1 - m_2}{m (A + B)} \quad (6) \] Từ (5) và (6) ta giải: \[ x + y = S \\ y - x = D \] Tính: \[ x = \frac{S - D}{2}, \quad y = \frac{S + D}{2} \] --- **Tính các số liệu:** \[ A = \frac{1}{7.8} \approx 0.1282\, cm^3/g \\ B = \frac{1}{2.6} \approx 0.3846\, cm^3/g \] \[ B - A = 0.3846 - 0.1282 = 0.2564 \\ A + B = 0.1282 + 0.3846 = 0.5128 \] Khối lượng mỗi quả cầu: \( m \) (chưa biết), ta giả sử \( m = m \) g. Giả sử \( m = 100\, g \) (đơn vị đồng nhất), ta sẽ xem xét để tính tỉ số. Tuy nhiên, không biết khối lượng quả cầu chính xác, để tìm tỉ số, ta nhân hai phương trình lại: Từ (1): \[ y B - x A = \frac{m_1}{m} \] Từ (2): \[ x B - y A = \frac{m_2}{m} \] Nhân (1) với \( A \), (2) với \( B \), rồi cộng: \[ A y B - A x A + B x B - B y A = \frac{A m_1 + B m_2}{m} \] \[ y (A B - B A) + x (B^2 - A^2) = \frac{A m_1 + B m_2}{m} \] Vế trái có \( y \times 0 + x (B^2 - A^2) \), tức: \[ x (B^2 - A^2) = \frac{A m_1 + B m_2}{m} \] \[ x = \frac{A m_1 + B m_2}{m (B^2 - A^2)} \] Tương tự lấy (1) nhân với \( B \), (2) nhân với \( A \), rồi trừ: \[ B y B - B x A - A x B + A y A = \frac{B m_1 - A m_2}{m} \] \[ y (B^2 + A^2) - x (B A + A B) = \frac{B m_1 - A m_2}{m} \] \[ y (B^2 + A^2) - x (2 A B) = \frac{B m_1 - A m_2}{m} \] Thay \( x \) vào để tìm \( y \), tuy nhiên quá phức tạp. --- **Cách đơn giản hơn:** Ta quan tâm tỉ số \(\frac{D_3}{D_4} = \frac{x}{y}\). Ta có từ (3) và (4): \[ y B - x A = \frac{m_1}{m} \\ x B - y A = \frac{m_2}{m} \] Từ (3): \[ y B = \frac{m_1}{m} + x A \Rightarrow y = \frac{m_1}{m B} + \frac{A}{B} x \] Thay vào (4): \[ x B - \left( \frac{m_1}{m B} + \frac{A}{B} x \right) A = \frac{m_2}{m} \] \[ x B - \frac{A m_1}{m B} - \frac{A^2}{B} x = \frac{m_2}{m} \] \[ x \left( B - \frac{A^2}{B} \right) = \frac{m_2}{m} + \frac{A m_1}{m B} \] \[ x = \frac{ \frac{m_2}{m} + \frac{A m_1}{m B} }{ B - \frac{A^2}{B} } = \frac{ m_2 + \frac{A m_1}{B} }{ m \left( B - \frac{A^2}{B} \right) } \] Nhân tử ở mẫu: \[ B - \frac{A^2}{B} = \frac{B^2 - A^2}{B} \] Vậy: \[ x = \frac{ m_2 + \frac{A m_1}{B} }{ m } \times \frac{B}{B^2 - A^2} = \frac{ B m_2 + A m_1 }{ m (B^2 - A^2) } \] Tương tự \( y \): \[ y = \frac{m_1}{m B} + \frac{A}{B} x = \frac{m_1}{m B} + \frac{A}{B} \times \frac{ B m_2 + A m_1 }{ m (B^2 - A^2) } = \frac{m_1}{m B} + \frac{A (B m_2 + A m_1)}{m B (B^2 - A^2)} \] Rút gọn: \[ y = \frac{ m_1 (B^2 - A^2) + A (B m_2 + A m_1) }{ m B (B^2 - A^2) } = \frac{ m_1 B^2 - m_1 A^2 + A B m_2 + A^2 m_1 }{ m B (B^2 - A^2) } \] Biến đổi tử: \[ - m_1 A^2 + A^2 m_1 = 0 \] Vậy: \[ y = \frac{ m_1 B^2 + A B m_2 }{ m B (B^2 - A^2) } \] --- **Tỉ số:** \[ \frac{x}{y} = \frac{ B m_2 + A m_1 }{ m (B^2 - A^2) } \times \frac{ m B (B^2 - A^2) }{ m_1 B^2 + A B m_2 } = \frac{ B m_2 + A m_1 }{ m_1 B^2 + A B m_2 } \times B \] --- **Thay số:** \[ A = 0.1282, \quad B = 0.3846 \\ m_1 = 17, \quad m_2 = 27 \] Tính tử số: \[ B m_2 + A m_1 = 0.3846 \times 27 + 0.1282 \times 17 = 10.3842 + 2.1794 = 12.5636 \] Mẫu số: \[ m_1 B^2 + A B m_2 = 17 \times (0.3846)^2 + 0.1282 \times 0.3846 \times 27 \] Tính từng phần: \[ (0.3846)^2 = 0.1479 \] \[ 17 \times 0.1479 = 2.5143 \] \[ 0.1282 \times 0.3846 = 0.0493 \] \[ 0.0493 \times 27 = 1.3311