Hai địa điểm A và B cách nhau 60km theo đường bộ. Cùng một thời điểm, một người đi xe máy xuất phát từ A đi về B và một người đi xe đạp xuất phát từ B đi về A. Họ gặp nhau sau 1 giờ kể từ khi xuất phát...

Cho quãng đường AB = 60 km. Gọi: - \( v_m \) là vận tốc của người đi xe máy (km/h). - \( v_x \) là vận tốc của người đi xe đạp (km/h). --- **a) Tính vận tốc của người đi xe máy và người đi xe đạp** - Lần gặp đầu tiên sau 1 giờ xuất phát, nghĩa là quãng đường cả hai đi được trong 1 giờ là 60 km. Do đó: \[ v_m \times 1 + v_x \times 1 = 60 \implies v_m + v_x = 60 \quad (1) \] - Sau lần gặp đầu tiên, người đi xe máy tiếp tục đi đến B, sau đó quay lại với vận tốc cũ, người đi xe đạp vẫn đi về A với vận tốc cũ. Họ gặp lại nhau sau 30 phút = 0.5 giờ kể từ lần gặp trước. Ta gọi thời gian từ lần gặp thứ nhất đến lần gặp thứ hai là \( t = 0.5 \) giờ. - Tại lần gặp thứ nhất, họ gặp nhau ở điểm M cách A một khoảng \( d \) km. Do đó: \[ d = v_m \times 1 = v_m \] và khoảng cách từ M đến B là: \[ 60 - d = 60 - v_m \] - Người đi xe máy đi từ M đến B rồi quay lại, nên quãng đường người này đi trong 0.5 giờ là: \[ L_m = (60 - v_m) + v_m \times t_2 \] nhưng \( t_2 \) là thời gian quay lại từ B đến điểm gặp lại. Trong 0.5 giờ, người đi xe máy đi được quãng đường: \[ s_m = v_m \times 0.5 \] - Người đi xe đạp đi trong 0.5 giờ về phía A với vận tốc \( v_x \), quãng đường đi được là: \[ s_x = v_x \times 0.5 \] - Khoảng cách giữa hai người sau lần gặp đầu tiên vẫn là: \[ L = s_m + s_x \] Nhưng quãng đường giữa họ lúc bắt đầu là 60 km, và họ đang tiến về nhau nên tổng quãng đường người đi xe máy và xe đạp đi được trong thời gian 0.5h kể từ lần gặp đầu tiên phải bằng khoảng cách giữa điểm xuất phát của họ (tức 60 km). Ở lần gặp thứ nhất, họ gặp nhau ở M, nghĩa là khoảng cách giữa hai người là 0 tại M. Sau đó, người đi xe máy đi đến B rồi quay lại, người đi xe đạp đi về A, họ lại tiến đến nhau. Chúng ta có thể thiết lập phương trình dựa trên vị trí sau lần gặp đầu tiên. - Vị trí người đi xe máy sau thời gian 0.5h kể từ lần gặp đầu tiên: \[ x_m = 60 - v_m \times (t_m) \] Trong đó \( t_m \) là thời gian người đi xe máy đi từ B quay lại. - Người đi xe đạp sau thời gian 0.5h kể từ lần gặp đầu tiên: \[ x_x = v_x \times (1 + 0.5) - v_x \times 1 = v_x \times 1.5 - v_x \times 1 = v_x \times 0.5 \] nhưng ta cần chính xác hơn. Để tránh nhầm lẫn, ta xem xét cách khác: Từ lần gặp đầu tiên đến lần gặp thứ hai: - Người đi xe máy đã đi: từ M đến B (quãng đường \( 60 - v_m \)) mất thời gian: \[ t_1 = \frac{60 - v_m}{v_m} \] - Sau đó quay lại trong thời gian: \[ t_2 = 0.5 - t_1 \] - Trong thời gian \( t_2 \), người đi xe máy đi được quãng đường: \[ s = v_m \times t_2 \] - Vị trí người đi xe máy tại lần gặp thứ hai cách B là khoảng \( s \) về phía A, vị trí cách A là: \[ x_m = 60 - s \] - Người đi xe đạp trong 0.5 giờ đi được quãng đường: \[ s_x = v_x \times 0.5 \] - Từ lần gặp thứ nhất, người đi xe đạp tiếp tục đi về A, nên vị trí người đi xe đạp cách A là: \[ x_x = v_m - s_x \] Tại lần gặp thứ hai, vị trí hai người phải trùng nhau: \[ x_m = x_x \] Thay các biểu thức: \[ 60 - s = v_m - s_x \] \[ 60 - v_m \times t_2 = v_m - v_x \times 0.5 \] Nhưng \( t_2 = 0.5 - t_1 = 0.5 - \frac{60 - v_m}{v_m} \) Do đó: \[ 60 - v_m \times \left(0.5 - \frac{60 - v_m}{v_m}\right) = v_m - 0.5 v_x \] Tính bên trái: \[ 60 - v_m \times 0.5 + (60 - v_m) = v_m - 0.5 v_x \] \[ 60 + 60 - v_m - 0.5 v_m = v_m - 0.5 v_x \] \[ 120 - 1.5 v_m = v_m - 0.5 v_x \] \[ 120 - 1.5 v_m - v_m = -0.5 v_x \] \[ 120 - 2.5 v_m = -0.5 v_x \] \[ 0.5 v_x = 2.5 v_m - 120 \] \[ v_x = 5 v_m - 240 \quad (2) \] Từ (1), ta có: \[ v_m + v_x = 60 \] Thay (2) vào: \[ v_m + 5 v_m - 240 = 60 \] \[ 6 v_m = 300 \] \[ v_m = 50 \text{ km/h} \] Suy ra: \[ v_x = 60 - 50 = 10 \text{ km/h} \] --- **Kết luận a):** \[ v_m = 50 \text{ km/h}, \quad v_x = 10 \text{ km/h} \] --- **b) Sau lần gặp thứ hai, người đi xe máy tiếp tục đi về A, khi đến A thì quay lại ngay với vận tốc cũ; người đi xe đạp vẫn đi về A với vận tốc 10 km/h. Hai người gặp nhau sau bao lâu kể từ lần gặp thứ hai? Vị trí gặp nhau cách A bao nhiêu km?** - Lần gặp thứ hai diễn ra sau lần gặp đầu tiên 0.5 giờ. - Vị trí lần gặp thứ hai cách A là: \[ x = v_m \times 1 + \text{quãng đường từ B quay lại} = ? \] Từ lần gặp thứ nhất (sau 1h), người đi xe máy đã đi đến B (cách A 60 km), thời gian từ lần gặp đầu tiên đến B là: \[ t_1 = \frac{60 - v_m}{v_m} = \frac{60 - 50}{50} = \frac{10}{50} = 0.2 \text{ giờ} \] Sau đó quay lại trong thời gian: \[ t_2 = 0.5 - 0.2 = 0.3 \text{ giờ} \] Quãng đường người đi xe máy quay lại trong 0.3 giờ là: \[ s = v_m \times 0.3 = 50 \times 0.3 = 15 \text{ km} \] Vị trí lần gặp thứ hai cách A là: \[ x = 60 - 15 = 45 \text{ km} \] --- Sau lần gặp thứ hai: - Người đi xe máy tiếp tục đi về A với vận tốc 50 km/h. - Người đi xe đạp vẫn đi về A với vận tốc 10 km/h, hiện tại ở vị trí lần gặp thứ hai (cách A 45 km). Xét chuyển động của hai người sau lần gặp thứ hai: - Người đi xe máy bắt đầu đi từ vị trí \( x = 45 \) km về A (vị trí 0 km), tốc độ 50 km/h, thời gian để đến A: \[ t_m = \frac{45}{50} = 0.9 \text{ giờ} \] - Người đi xe đạp vẫn đi về A với vận tốc 10 km/h, từ vị trí 45 km, thời gian đến A: \[ t_x = \frac{45}{10} = 4.5 \text{ giờ} \] Sau khi người đi xe máy đến A (sau 0.9 giờ), lập tức quay lại với vận tốc 50 km/h đi về phía B. Gọi \( t \) là thời gian sau lần gặp thứ hai khi họ gặp nhau lần tiếp theo. - Nếu \( t \leq 0.9 \) giờ: Hai người đang cùng đi về A, nhưng vận tốc của xe máy lớn hơn nên người đi xe máy sẽ đến A trước. - Nếu \( t > 0.9 \) giờ: Người đi xe máy đã đến A và đang quay lại về phía B với vận tốc 50 km/h, người đi xe đạp vẫn đi về A với vận tốc 10 km/h. Giả sử họ gặp nhau sau thời gian \( t > 0.9 \) giờ. Vị trí người đi xe máy sau thời gian \( t \) kể từ lần gặp thứ hai là: \[ x_m(t) = 50 (t - 0.9) \quad \text{(tính từ A về phía B)} \] Vị trí người đi xe đạp sau thời gian \( t \) kể từ lần gặp thứ hai là: \[ x_x(t) = 45 - 10 t \] Tại thời điểm gặp nhau: \[ x_m(t) = x_x(t) \] \[ 50 (t - 0.9) = 45 - 10 t \] \[ 50 t - 45 = 45 - 10 t \] \[ 50 t + 10 t = 45 + 45 \] \[ 60 t = 90 \] \[ t = \frac{90}{60} = 1.5 \text{ giờ} \] Thời gian sau lần gặp thứ hai để gặp lại nhau là: \[ t - 0 = 1.5 \text{ giờ} \] Vị trí gặp nhau cách A là: \[ x = x_m(t) = 50 (1.5 - 0.9) = 50 \times 0.6 = 30 \text{ km} \] --- **Kết luận b):** - Thời gian họ gặp nhau sau lần gặp thứ hai là 1.5 giờ. - Vị trí gặp nhau cách A là 30 km. --- **Tóm tắt kết quả:** a) \[ v_m = 50 \text{ km/h}, \quad v_x = 10 \text{ km/h} \] b) - Thời gian gặp lại sau lần gặp thứ hai: 1.5 giờ. - Vị trí gặp lại cách A: 30 km.