Tìm m,n biết $x^7+x^5+x^4+mx+n$ chia hết cho $x^2-x+1$

Để đa thức \( P(x) = x^7 + x^5 + x^4 + mx + n \) chia hết cho đa thức \( Q(x) = x^2 - x + 1 \), ta cần tìm các giá trị của \( m \) và \( n \) sao cho \( P(x) \) chia hết cho \( Q(x) \). Bước 1: Tìm nghiệm của \( Q(x) = x^2 - x + 1 \) Ta có \( x^2 - x + 1 = 0 \). Giải phương trình này, ta tìm được nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \). Bước 2: Thay nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) vào \( P(x) \) Do \( P(x) \) chia hết cho \( Q(x) \), nên \( P(x_1) = 0 \) và \( P(x_2) = 0 \). Bước 3: Thiết lập hệ phương trình Thay \( x_1 \) và \( x_2 \) vào \( P(x) \), ta sẽ có hai phương trình liên quan đến \( m \) và \( n \). Bước 4: Giải hệ phương trình Giải hệ phương trình để tìm giá trị của \( m \) và \( n \). Cụ thể, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nghiệm của \( x^2 - x + 1 = 0 \): Ta có \( x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} \). 2. Thay \( x_1 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \) và \( x_2 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} \) vào \( P(x) \): \( P(x_1) = \left( \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \right)^7 + \left( \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \right)^5 + \left( \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \right)^4 + m \left( \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \right) + n = 0 \) \( P(x_2) = \left( \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} \right)^7 + \left( \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} \right)^5 + \left( \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} \right)^4 + m \left( \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} \right) + n = 0 \) 3. Thiết lập hệ phương trình: \( \left( \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \right)^7 + \left( \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \right)^5 + \left( \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \right)^4 + m \left( \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \right) + n = 0 \) \( \left( \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} \right)^7 + \left( \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} \right)^5 + \left( \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} \right)^4 + m \left( \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} \right) + n = 0 \) 4. Giải hệ phương trình: Sau khi tính toán và rút gọn, ta tìm được \( m = -1 \) và \( n = 0 \). Vậy, giá trị của \( m \) và \( n \) là \( m = -1 \) và \( n = 0 \).