Câu $\rm 6.$

Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của cấp số cộng và công thức tổng của cấp số cộng. 1. Công thức tổng của cấp số cộng: Tổng của \( n \) số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là: \[ S_n = \frac{n}{2} (2u_1 + (n-1)d) \] trong đó \( u_1 \) là số hạng đầu tiên và \( d \) là công sai. 2. Biểu diễn \( S_p \) và \( S_q \): Áp dụng công thức trên, ta có: \[ S_p = \frac{p}{2} (2u_1 + (p-1)d) \] \[ S_q = \frac{q}{2} (2u_1 + (q-1)d) \] 3. Tỉ số \( \frac{S_p}{S_q} \): Theo đề bài, ta có: \[ \frac{S_p}{S_q} = \frac{p^2}{q^2} \] Thay các biểu thức của \( S_p \) và \( S_q \) vào, ta được: \[ \frac{\frac{p}{2} (2u_1 + (p-1)d)}{\frac{q}{2} (2u_1 + (q-1)d)} = \frac{p^2}{q^2} \] Rút gọn, ta có: \[ \frac{p (2u_1 + (p-1)d)}{q (2u_1 + (q-1)d)} = \frac{p^2}{q^2} \] Chia cả hai vế cho \( p \) và \( q \), ta được: \[ \frac{2u_1 + (p-1)d}{2u_1 + (q-1)d} = \frac{p}{q} \] 4. Giải phương trình: Nhân chéo để giải phương trình: \[ q(2u_1 + (p-1)d) = p(2u_1 + (q-1)d) \] Mở rộng và sắp xếp lại: \[ 2qu_1 + q(p-1)d = 2pu_1 + p(q-1)d \] \[ 2qu_1 + qpd - qd = 2pu_1 + pqd - pd \] \[ 2qu_1 - 2pu_1 = qd - pd \] \[ 2u_1(q - p) = d(q - p) \] Vì \( p \ne q \), ta có thể chia cả hai vế cho \( q - p \): \[ 2u_1 = d \] \[ d = 2u_1 \] 5. Tìm tỉ số \( \frac{u_{2023}}{u_{2024}} \): Số hạng thứ \( n \) của cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Thay \( d = 2u_1 \) vào, ta có: \[ u_{2023} = u_1 + 2022 \cdot 2u_1 = u_1 + 4044u_1 = 4045u_1 \] \[ u_{2024} = u_1 + 2023 \cdot 2u_1 = u_1 + 4046u_1 = 4047u_1 \] Tỉ số: \[ \frac{u_{2023}}{u_{2024}} = \frac{4045u_1}{4047u_1} = \frac{4045}{4047} \] Vậy \( a = 4045 \) và \( b = 4047 \). 6. Tính \( 24a - 23b \): \[ 24a - 23b = 24 \cdot 4045 - 23 \cdot 4047 \] \[ = 97080 - 93081 \] \[ = 4000 - 1 \] \[ = 3999 \] Đáp số: \( 24a - 23b = 3999 \)