cho hbh ABCD . Lấy các điểm E thuộc AB , F thuộc CD sao cho AE=CF ; lấy các điểm G thuộc BC, H thuộc AD sao cho BG = DH . Chứng minh EGFH là một hình bình hành và các đường thẳng AC,BD,È,GH đồng quy

Question

cho hbh ABCD . Lấy các  điểm E thuộc AB , F thuộc CD  sao cho  AE=CF ; lấy các điểm G thuộc BC, H thuộc AD sao cho BG = DH . Chứng minh EGFH là một hình bình hành và các đường thẳng AC,BD,È,GH đồng quy

Accepted Answer

Để chứng minh tứ giác $ EGFH $ là một hình bình hành và các đường thẳng $ AC, BD, EF, GH $ đồng quy, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chứng minh $ EGFH $ là một hình bình hành

1. Xét các đoạn thẳng song song:

- Vì $ ABCD $ là hình bình hành, nên $ AB \parallel CD $ và $ AD \parallel BC $.
   - Do $ E $ thuộc $ AB $ và $ F $ thuộc $ CD $ với $ AE = CF $, ta có $ EF \parallel AB \parallel CD $.
   - Tương tự, do $ G $ thuộc $ BC $ và $ H $ thuộc $ AD $ với $ BG = DH $, ta có $ GH \parallel BC \parallel AD $.

2. Chứng minh các cặp cạnh đối song song:

- Từ các điều trên, ta có $ EF \parallel GH $ và $ EH \parallel FG $.

3. Kết luận:

- Vì $ EF \parallel GH $ và $ EH \parallel FG $, tứ giác $ EGFH $ có hai cặp cạnh đối song song, do đó $ EGFH $ là một hình bình hành.

Bước 2: Chứng minh các đường thẳng $ AC, BD, EF, GH $ đồng quy

1. Xét các đường chéo của hình bình hành:

- Trong hình bình hành $ ABCD $, các đường chéo $ AC $ và $ BD $ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo.

2. Xét các đường chéo của hình bình hành $ EGFH $:

- Tương tự, trong hình bình hành $ EGFH $, các đường chéo $ EG $ và $ FH $ cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo.

3. Chứng minh đồng quy:

- Do $ EGFH $ là hình bình hành và các đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm, và vì $ AC $ và $ BD $ cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo trong hình bình hành $ ABCD $, nên các đường thẳng $ AC, BD, EF, GH $ đồng quy tại điểm cắt của các đường chéo.

Kết luận

Tứ giác $ EGFH $ là một hình bình hành và các đường thẳng $ AC, BD, EF, GH $ đồng quy.