cho tam giác ABC vuông tại A; I là trung điểm của BC a,biết BC=12cm, tính AI b,gọi H,K lần lượt là chân đường vuông góc từ I xuống AC, AB. Chứng minh AHIK là hình bình hành c,Lây điểm M sao cho H là tr...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a. Tính AI khi biết BC = 12 cm Vì I là trung điểm của BC, nên \( BI = IC = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) cm. Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore, ta có: \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \] Vì I là trung điểm của BC, nên AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Theo tính chất của tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền: \[ AI = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm} \] b. Chứng minh AHIK là hình bình hành Gọi H, K lần lượt là chân đường vuông góc từ I xuống AC và AB. Ta cần chứng minh AHIK là hình bình hành. - Vì H là chân đường vuông góc từ I xuống AC, nên \( IH \perp AC \). - Vì K là chân đường vuông góc từ I xuống AB, nên \( IK \perp AB \). Trong tam giác vuông ABC, ta có: - \( AH \parallel IK \) (vì cả hai đều vuông góc với AC) - \( AK \parallel IH \) (vì cả hai đều vuông góc với AB) Do đó, tứ giác AHIK có hai cặp cạnh đối song song, nên AHIK là hình bình hành. c. Chứng minh AICM là hình bình hành, giả sử tam giác ABC vuông cân tại A Giả sử tam giác ABC vuông cân tại A, điều này có nghĩa là \( AB = AC \). Lấy điểm M sao cho H là trung điểm của MI. Ta cần chứng minh AICM là hình bình hành. - Vì H là trung điểm của MI, nên \( MH = HI \). - Trong tam giác vuông cân ABC, ta có \( AB = AC \), do đó \( \angle BAC = 45^\circ \). Xét tứ giác AICM: - Ta đã biết \( AI = IC \) (vì I là trung điểm của BC). - Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên \( \angle AIC = 90^\circ \). Do đó, tứ giác AICM có: - \( AI = IC \) - \( \angle AIC = 90^\circ \) Vì H là trung điểm của MI, và \( AI = IC \), nên \( AICM \) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó AICM là hình bình hành.