giúp tôi với

Bài 5: a) Rút gọn biểu thức M. Điều kiện xác định: \( a \geq 0, a \neq 1 \). Biểu thức \( M \) được viết lại dưới dạng: \[ M = \left( \frac{1}{a - \sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \right) : \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2\sqrt{a} + 1}. \] Ta có: \[ a - 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a} - 1)^2. \] Do đó, biểu thức \( M \) trở thành: \[ M = \left( \frac{1}{a - \sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \right) : \frac{\sqrt{a} + 1}{(\sqrt{a} - 1)^2}. \] Tiếp theo, ta rút gọn phần tử số của biểu thức: \[ \frac{1}{a - \sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1} = \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1} = \frac{1 + \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)}. \] Do đó, biểu thức \( M \) trở thành: \[ M = \frac{1 + \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} \cdot \frac{(\sqrt{a} - 1)^2}{\sqrt{a} + 1} = \frac{1 + \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} \cdot \frac{(\sqrt{a} - 1)^2}{\sqrt{a} + 1} = \frac{(\sqrt{a} - 1)}{\sqrt{a}}. \] Vậy, biểu thức \( M \) đã được rút gọn thành: \[ M = \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}}. \] b) Tính giá trị của biểu thức M khi \( a = 16 \). Thay \( a = 16 \) vào biểu thức \( M \): \[ M = \frac{\sqrt{16} - 1}{\sqrt{16}} = \frac{4 - 1}{4} = \frac{3}{4}. \] Vậy, giá trị của biểu thức \( M \) khi \( a = 16 \) là: \[ M = \frac{3}{4}. \] Bài 6: a) Rút gọn A. Điều kiện xác định: \( a > 0, a \neq 1 \) Biểu thức \( A \) có dạng: \[ A = \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} - \frac{1}{a - \sqrt{a}} \right) : \left( \frac{1}{\sqrt{a} + 1} + \frac{2}{a - 1} \right) \] Ta sẽ rút gọn từng phần tử trong biểu thức trên. Phần tử đầu tiên: \[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} - \frac{1}{a - \sqrt{a}} \] \[ = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} - \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} \] \[ = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} \] \[ = \frac{a - 1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} \] \[ = \frac{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} \] \[ = \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}} \] Phần tử thứ hai: \[ \frac{1}{\sqrt{a} + 1} + \frac{2}{a - 1} \] \[ = \frac{1}{\sqrt{a} + 1} + \frac{2}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} \] \[ = \frac{\sqrt{a} - 1 + 2}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} \] \[ = \frac{\sqrt{a} + 1}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} \] \[ = \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \] Do đó, biểu thức \( A \) trở thành: \[ A = \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}} : \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \] \[ = \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}} \cdot (\sqrt{a} - 1) \] \[ = \frac{(\sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} - 1)}{\sqrt{a}} \] \[ = \frac{a - 1}{\sqrt{a}} \] \[ = \frac{a - 1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} \] \[ = \frac{(a - 1)\sqrt{a}}{a} \] \[ = \frac{a\sqrt{a} - \sqrt{a}}{a} \] \[ = \sqrt{a} - \frac{\sqrt{a}}{a} \] \[ = \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \] b) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( a = 4 + 2\sqrt{3} \). Thay \( a = 4 + 2\sqrt{3} \) vào biểu thức \( A \): \[ A = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}} \] Ta biết rằng \( \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1 \). Do đó: \[ A = (\sqrt{3} + 1) - \frac{1}{\sqrt{3} + 1} \] \[ = (\sqrt{3} + 1) - \frac{1}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} \] \[ = (\sqrt{3} + 1) - \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \] \[ = (\sqrt{3} + 1) - \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \] \[ = \frac{2(\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1)}{2} \] \[ = \frac{2\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 1}{2} \] \[ = \frac{\sqrt{3} + 3}{2} \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) khi \( a = 4 + 2\sqrt{3} \) là: \[ A = \frac{\sqrt{3} + 3}{2} \] Bài 7: a) Ta có: \[ A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 5} - \frac{10\sqrt{x}}{x - 25} - \frac{5}{\sqrt{x} + 5} \] Ta nhận thấy rằng \( x - 25 = (\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5) \). Do đó, ta có thể viết lại biểu thức \( A \) như sau: \[ A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 5} - \frac{10\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} - \frac{5}{\sqrt{x} + 5} \] Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số chung cho các phân số này: \[ A = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 5) - 10\sqrt{x} - 5(\sqrt{x} - 5)}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} \] Tiếp theo, chúng ta sẽ mở rộng tử số: \[ A = \frac{x + 5\sqrt{x} - 10\sqrt{x} - 5\sqrt{x} + 25}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} \] Gộp các hạng tử giống nhau trong tử số: \[ A = \frac{x - 10\sqrt{x} + 25}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} \] Nhận thấy rằng \( x - 10\sqrt{x} + 25 = (\sqrt{x} - 5)^2 \): \[ A = \frac{(\sqrt{x} - 5)^2}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} \] Rút gọn phân số: \[ A = \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 5} \] b) Với \( x = 4 - 2\sqrt{3} \), ta thay vào biểu thức đã rút gọn: \[ A = \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} - 5}{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} + 5} \] Ta biết rằng \( \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1 \): \[ A = \frac{\sqrt{3} - 1 - 5}{\sqrt{3} - 1 + 5} \] \[ A = \frac{\sqrt{3} - 6}{\sqrt{3} + 4} \] Vậy giá trị của \( A \) khi \( x = 4 - 2\sqrt{3} \) là: \[ A = \frac{\sqrt{3} - 6}{\sqrt{3} + 4} \] Bài 8: a) Rút gọn A: Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 4 \). Biểu thức \( A \) được viết lại như sau: \[ A = \frac{1}{2 + \sqrt{x}} + \frac{1}{2 - \sqrt{x}} - \frac{2\sqrt{x}}{4 - x}. \] Ta sẽ quy đồng mẫu số của các phân số đầu tiên: \[ \frac{1}{2 + \sqrt{x}} + \frac{1}{2 - \sqrt{x}} = \frac{(2 - \sqrt{x}) + (2 + \sqrt{x})}{(2 + \sqrt{x})(2 - \sqrt{x})} = \frac{4}{4 - x}. \] Do đó, biểu thức \( A \) trở thành: \[ A = \frac{4}{4 - x} - \frac{2\sqrt{x}}{4 - x} = \frac{4 - 2\sqrt{x}}{4 - x}. \] Rút gọn tiếp: \[ A = \frac{2(2 - \sqrt{x})}{4 - x} = \frac{2(2 - \sqrt{x})}{(2 - \sqrt{x})(2 + \sqrt{x})} = \frac{2}{2 + \sqrt{x}}. \] Vậy, biểu thức rút gọn của \( A \) là: \[ A = \frac{2}{2 + \sqrt{x}}. \] b) Tính giá trị của \( A \) với \( x = 3 \): Thay \( x = 3 \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ A = \frac{2}{2 + \sqrt{3}}. \] Nhân tử và mẫu số với \( 2 - \sqrt{3} \) để làm mất căn bậc hai ở mẫu số: \[ A = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{1} = 2(2 - \sqrt{3}). \] Vậy, giá trị của \( A \) khi \( x = 3 \) là: \[ A = 2(2 - \sqrt{3}) = 4 - 2\sqrt{3}. \]