5/(1×6) + 5/(6×11) + 5/(11×16)+5/(16×21)+5/(21×26)

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích từng bước theo yêu cầu đã nêu.

Bước 1: Nhận thấy rằng mỗi hạng tử trong dãy đều có dạng $\frac{5}{n(n+5)}$, trong đó $n$ là số đầu tiên của mẫu số.

Bước 2: Ta sẽ tách mỗi hạng tử thành hiệu của hai phân số:
$$
\frac{5}{n(n+5)} = \frac{A}{n} - \frac{A}{n+5}
$$
Trong đó $A$ là hằng số cần tìm.

Bước 3: Ta sẽ tìm $A$ sao cho:
$$
\frac{5}{n(n+5)} = \frac{A}{n} - \frac{A}{n+5}
$$

Nhân cả hai vế với $n(n+5)$:
$$
5 = A(n+5) - An
$$
$$
5 = An + 5A - An
$$
$$
5 = 5A
$$
$$
A = 1
$$

Bước 4: Thay $A = 1$ vào biểu thức:
$$
\frac{5}{n(n+5)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+5}
$$

Bước 5: Áp dụng kết quả trên cho từng hạng tử trong dãy:
$$
\frac{5}{1 \times 6} = \frac{1}{1} - \frac{1}{6}
$$
$$
\frac{5}{6 \times 11} = \frac{1}{6} - \frac{1}{11}
$$
$$
\frac{5}{11 \times 16} = \frac{1}{11} - \frac{1}{16}
$$
$$
\frac{5}{16 \times 21} = \frac{1}{16} - \frac{1}{21}
$$
$$
\frac{5}{21 \times 26} = \frac{1}{21} - \frac{1}{26}
$$

Bước 6: Cộng tất cả các hạng tử lại:
$$
\left( \frac{1}{1} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{16} \right) + \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{21} \right) + \left( \frac{1}{21} - \frac{1}{26} \right)
$$

Bước 7: Các phân số sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại:
$$
\frac{1}{1} - \frac{1}{26}
$$

Bước 8: Tính kết quả cuối cùng:
$$
1 - \frac{1}{26} = \frac{26}{26} - \frac{1}{26} = \frac{25}{26}
$$

Vậy kết quả của bài toán là:
$$
\boxed{\frac{25}{26}}
$$