Giải hộ mình câu này với các bạn 2/(3×5)+2/(5×7)+2/(7×9)+2/(9×11)+2/(11×13)+2/(13×15)+2/(15×17)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích từng bước như sau: Bước 1: Ta nhận thấy rằng mỗi phân số trong dãy đều có dạng \(\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}\), trong đó \(n\) là số thứ tự của phân số trong dãy. Bước 2: Ta sẽ tách mỗi phân số thành hiệu của hai phân số khác: \[ \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} - \frac{A}{2n+1} \] Trong đó \(A\) là hằng số mà ta cần tìm. Bước 3: Ta sẽ tìm \(A\) sao cho: \[ \frac{A}{2n-1} - \frac{A}{2n+1} = \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} \] Bước 4: Nhân cả hai vế với \((2n-1)(2n+1)\): \[ A(2n+1) - A(2n-1) = 2 \] \[ A(2n+1 - 2n+1) = 2 \] \[ 2A = 2 \] \[ A = 1 \] Bước 5: Thay \(A = 1\) vào biểu thức ban đầu: \[ \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \] Bước 6: Áp dụng kết quả trên cho từng phân số trong dãy: \[ \frac{2}{3 \times 5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \] \[ \frac{2}{5 \times 7} = \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \] \[ \frac{2}{7 \times 9} = \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \] \[ \frac{2}{9 \times 11} = \frac{1}{9} - \frac{1}{11} \] \[ \frac{2}{11 \times 13} = \frac{1}{11} - \frac{1}{13} \] \[ \frac{2}{13 \times 15} = \frac{1}{13} - \frac{1}{15} \] \[ \frac{2}{15 \times 17} = \frac{1}{15} - \frac{1}{17} \] Bước 7: Cộng tất cả các phân số đã tách: \[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{13} \right) + \left( \frac{1}{13} - \frac{1}{15} \right) + \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{17} \right) \] Bước 8: Các phân số sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại: \[ \frac{1}{3} - \frac{1}{17} \] Bước 9: Tính kết quả cuối cùng: \[ \frac{1}{3} - \frac{1}{17} = \frac{17}{51} - \frac{3}{51} = \frac{14}{51} \] Vậy, kết quả của bài toán là: \[ \boxed{\frac{14}{51}} \]